哈工大2019年春近世代数复习

本文原载于我的博客，地址：https://blog.guoziyang.top/archives/23/

11.2 若干基本概念

定义11.2.1 设X是一个集合，一个从X$\times$X到X的映射$\varphi$称为X上的一个二元代数运算。二元代数运算具有封闭性。

定义11.2.4 设"$\circ$"是非空集合S上的一个二元代数运算，则称二元组(S, $\circ$)为一个代数系。

定义11.2.5 设(S, $\circ$,+)是具有两个二元代数运算的代数系。如果$\forall a,b,c\in S$，恒有
$$a\circ (b+c)=(a\circ b)+(a\circ c)$$
则称"$\circ$“对”+“满足左分配律。如果$\forall a,b,c\in S$，总有
$$(b+c)\circ a=(b\circ a)+(c\circ a)$$
则称”$\circ$“对”+"满足分配律。

定义11.2.6 设(S,$\circ$)是一个代数系，如果存在一个元素$a_l\in S$，使得$\forall a\in S$有
$$a_l\circ a=a$$
则称$a_l$为乘法"$\circ$“对左单位元素；如果存在元素$a_r\in S$使得$\forall a\in S$有
$$a\circ a_r=a$$
则称$a_r$为乘法”$\circ$“对右单位元素；如果存在一个元素$e\in S$使得$\forall a\in S$有
$$e\circ a=a\circ e=a$$
则称e为”$\circ$"对单位元素。

定理11.2.4 设(S, $\circ$)是一个代数系。如果二元代数运算$\circ$即有左单位元$a_l$又有右单位元$a_r$，则$a_l=a_r$，从而有单位元。

定义11.2.7 设(S, $\circ$)是一个代数系。如果存在一个元素$z\in S$，使得$\forall a\in S$都有
$$z\circ a=a\circ z=z$$
则称z是"$\circ$"的零元素。

11.3 半群与幺半群

定义11.3.1 设"$\circ$"是非空集合S上的一个二元代数运算，称为乘法。如果$\forall a,b,c\in S$，有
$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$
则称集合S对乘法$\circ$形成一个半群。只含有限个元素的半群称为有限半群，否则称为无限半群。若$\circ$在S上还满足交换律，则该半群为交换半群。

定义11.3.2 有单位元素的半群(S, $\circ$)称为幺半群。幺半群通常被记为(S, $\circ$, e)。S的基数（元素个数）称为幺半群的阶。

定理11.3.2 有限半群(S, $\circ$)为一个半群当且仅当$\exists ,t\in S$使得
$$sS=S,St=S$$
注意，s和t不一定为单位元素。

定理11.3.3 设(S, $\circ$, e)是一个幺半群，m、n是任意的非负整数，则$\forall a\in S$
$$\begin{gathered} a^m\circ a^n=a^{m+n} \\ (a^m{)}^n=a^{mn} \end{gathered}$$

定义11.3.3 设(S, $\circ$, e)是一个幺半群。元素$a\in S$称为有左逆元素，如果存在$a_l\in S$使$a_l\circ a=e$，这时$a_l$叫做a的左逆元素。如果存在元素$a_r\in S$使得$a\circ a_r=e$，则称$a_r$为a的右逆元素。如果存在$b\in S$使得$a\circ b=b\circ a=e$，则称a有逆元素，而b叫做a的逆元素。

定义11.3.4 每个元素都有逆元素的幺半群称为群。

定理11.3.4 有限半群(S, $\circ$)是一个群的充要条件是$\forall s\in S$有$sS=S$且$\exists \in S$使得$St=S$。

11.4 子半群、子幺半群、理想

定义11.4.1 设(S, $\circ$)是一个半群，B是S的一个非空子集。如果$\forall a,b\in S$，都有$a\circ b\in B$，则称代数系(B, $\circ$)是(S, $\circ$)的一个子半群，并简称B是S的子半群。

定义11.4.2 设(S, $\circ$, e)是一个幺半群，$P\subset S$。如果$e\in P$且P是S的子半群，则称P是S的子幺半群。

定理11.4.1 一个幺半群的任意多个子幺半群的交集仍是子幺半群。

定理11.4.2 设(S, $\circ$)是一个半群，A是S的一个非空子集，则S的一切包含A的子半群的交集Q也是子半群。

定义11.4.3 设A是半群(S, $\circ$)的一个非空子集，由S的包含A的所有子半群的交所形成的子半群称为由A生成的子半群，记为(A)。类似的，如果A是幺半群(M, $\circ$, e)的子集，M中包含A的所有子幺半群的交称为由A生成的子幺半群。显然，由A生成的子半群（子幺半群）是半群S（幺半群M）的包含A的最小子半群（子幺半群）。

定义11.4.4 半群(S, $\circ$)的一个非空子集A称为S的一个左（右）理想，如果$SA\subset A$（$AS\subset A$）。如果A既是S的左理想又是S的右理想，则称A是S的理想。S的包含A的一切理想的交称为由A生成的理想。

定理11.4.3 设A是半群(S, $\circ$)的一个非空子集，则

1. 由A生成的左理想是A$\cup$SA。
2. 由A生成的右理想是A$\cup$AS。
3. 由A生成的理想是A$\cup$SA$\cup$AS$\cup$SAS。

定理11.4.4 设A是幺半群(M, $\circ$, e)的一个子集，则

1. 由A生成的M的左理想是SA。
2. 由A生成的M的右理想是AS。
3. 由A生成的M的理想是SAS。

定义11.4.5 一个半群（幺半群）称为一个循环半群（循环幺半群），如果这个半群（幺半群）是由其中的某个元素生成的半群（幺半群）。由元素$a$生成的循环半群记为(a)。循环半群（幺半群）必是可交换半群（幺半群）。

11.5 同构、同态

定义11.5.1 设(S, $\circ$)与(T, *)是两个半群。如果存在一个从S到T的一个一一对应$\varphi$，使得$\forall a,b\in S$有
$$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$$
则称半群(S, $\circ$)与(T, *)同构，记为(S, $\circ$)$=$(T, *)，常简记为S$=$T。这时$\varphi$称为S到T的一个同构。

定义11.5.2 设(M, $\circ$, e)和(M’, $\ast$, e’)是两个幺半群，如果存在从M到M‘的一个一一对应$\varphi$，使得$\forall x,y\in M$
$$\varphi (e)=e^{\prime }，\varphi (x\circ y)=\varphi (x)\ast \varphi (y)$$

则称(M, $\circ$, e)和(M’, $\ast$, e’)同构，记为(M, $\circ$, e)$=$(M’, $\ast$, e’)，或简记为M$=$M’。这时$\varphi$称为M到M’的一个同构。

变换半群 设(S, $\circ$)是一个半群，考虑到S到S的一个如下变换（映射）${\rho }_a:\forall x\in S$，${\rho }_a(x)=a\circ x$，其中a为S的一个元素，称${\rho }_a$为由a确定的S上的左变换。令L(S)={${\rho }_a|a\in S,\forall x\in S,{\rho }_a(x)=a\circ x$}，则L(S)对变换的合成构成一个半群(L(S), $\circ$)，称为变换半群。

定理11.5.1 幺半群的Caylay定理：任何幺半群(M, $\circ$, e)同构于变换幺半群(L(M), $\circ$, $I_M$)。

定义11.5.3 设(S, $\circ$)和(T, $\ast$)是半群，如果存在$\varphi :S\to T$使得$\forall x,y\in S$有
$$\varphi (x\circ y)=\varphi (x)\ast \varphi (y)$$
则称(S, $\circ$)与(T, $\ast$)是同态的，$\varphi$称为S到T的一个同态，$\varphi (S)$称为同态象。同样的，若(M, $\circ$, e)与(M’, $\ast$, e’)是幺半群，如果有$\varphi :M\to M^{\prime }$，使得$\forall x,y\in S$有
$$\varphi (e)=e^{\prime }，\varphi (x\circ y)=\varphi (x)\ast \varphi (y)$$
则称(M, $\circ$, e)与(M’, $\ast$, e’)同态，$\varphi$称为幺半群M到M’的一个同态。当同态为一一对应时，$\varphi$就是同构。

定理11.5.2 设(S, $\circ$)是一个半群，(T, $\ast$)是一个具有二元代数运算"$\ast$"的代数系。如果存在一个满映射$\varphi :S\to T$使得$\forall x,y\in S$有
$$\varphi (x\circ y)=\varphi (x)\ast \varphi (y)$$
则(T, $\ast$)是半群。

定理11.5.3 设(S, $\circ$, e)是幺半群，(T, $\ast$)是半群。如果$\varphi$是S到T的满半群同态，则$\varphi (e)$是T的单位元，从而(T, $\ast$, $\varphi (e)$)是幺半群。

定理11.5.4 设($M_1$, $\circ$, $e_1$)与($M_2$, $\ast$, $e_2$)是幺半群。如果M到T有一个同态$\varphi$，则M的可逆元素$a$到象$\varphi (a)$也可逆且$\varphi (a{)}^{-1}=\varphi (a^{-1})$。

定理11.5.5 设$\varphi$是半群($S_1,\circ$ )到半群($S_2,\ast$)到同态，$\psi$是($S_2,\ast$)到半群($S_3,\cdot$)到同态，则$\varphi \circ \psi$是($S_1,\circ$)到($S_3,\cdot$)的同态。

定义11.5.4 设(S, $\circ$)和(T, $\ast$)是半群，$\varphi$是S到T的同态。半群(S/$E_{\varphi }$, $\cdot$)称为商半群。令$\gamma :S\to S/E_{\varphi }$，$\forall a\in S,\gamma (a)=[a]$，则称$\gamma$为S到商半群S/$E_{\varphi }$的自然同态。

定理11.5.6 （幺半群同态的基本定理）设$\varphi$是幺半群(M, $\circ$, e)到幺半群(M’, $\ast$, e’)的同态，则

1. 同态象$\varphi (M)$是M’的一个子幺半群

2. 由$\varphi$确定的等价关系$E_{\varphi }$是同余关系，即如果$a{E}_{\varphi }{a}^{\prime }$且$b{E}_{\varphi }{b}^{\prime }$，则$a\circ bE\varphi a^{\prime }\circ b^{\prime }$。于是，$\forall [a],[b]\in M/E_{\varphi },[a]\cdot [b]=[a\circ b]$是M/$E_{\varphi }$上的二元代数运算，$(M/E_{\varphi },\cdot ,[e])$是幺半群。

3. 存在唯一的$M/E_{\varphi }$到M’的单（射）同态$\overline{\varphi }$使
   $$\varphi =\overline{\varphi }\circ \gamma$$
   其中$\gamma$为M到M/$E_{\varphi }$的自然同态。

4. 如果$\varphi$是满同态，则M/$E_{\varphi }$与M’同构。

定义11.5.5 设$=$是代数系(X, $\circ$)上的等价关系。$\forall a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in X$，如果$a=b$且$a^{\prime }=b^{\prime }$，则必有$a\circ a^{\prime }=b\circ b^{\prime }$，那么称$=$是X上的同余关系。常用$\equiv$表示同余关系。简单来说，同余关系是可乘的等价关系。

12.1 群的定义及例子

定义12.1.1 设G是一个非空集合，"$\circ$“是G上的二元代数运算，称为乘法。如果下列各个条件同时成立，则称G对它的乘法”$\circ$"构成一个群：

1. 乘法$\circ$满足结合律，即$\forall a,b,c\in G$：
   $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$
2. 对乘法$\circ$，G中有一个左单位元e，即$\forall a\in G$：
   $$e\circ a=a$$
3. 对G的每个元素，关于乘法$\circ$有一个左逆元素，即对G的每个元素a有一个相对应的元素b使得
   $$b\circ a=e$$

每个元素都有逆元素的幺半群称为群。(定义11.3.4)

定义12.1.2 群(G, $\circ$)称为交换群或可换群（阿贝尔群），如果乘法"$\circ$"满足交换律，即$\forall a,b\in G$，
$$a\circ b=b\circ a$$

定义12.1.3 群(G, $\circ$)称为有限群，如果G是有限集。G的基数称为群G的阶。如果G含有无穷多个元素，则称G为无限群。

12.2 群的简单性质

定理12.2.1 设(G, $\circ$)是一个群，则$\forall a\in G$，a的左逆元也是a的右逆元。

定理12.2.2 G的左单位元e也是右单位元。

定理12.2.4 设a与b是群(G, $\circ$)的任两个元素，则
$$\begin{gathered} (a^{-1}{)}^{-1}=a \\ (ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1} \end{gathered}$$
定理12.2.5 $\forall a,b\in G$，在群G中，方程
$$\begin{gathered} ax=b \\ ya=b \end{gathered}$$
关于未知量x与y皆有唯一解。

定理12.2.6 非空集合G对其二元代数运算"$\circ$"构成一个群的充分必要条件是下列两个条件同时成立：

1. "$\circ$"满足结合律，即对$\forall a,b,c\in G$
   $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$
2. $\forall a,b\in G$，方程
   $$\begin{gathered} a\circ x=b \\ y\circ a=b \end{gathered}$$
   在G中有解。

定理12.2.7 群G中的乘法满足消去律，即$\forall x,y,a\in G$，有
$$\begin{gathered} 如果ax=ay，则x=y（左消去律） \\ 如果xa=ya，则x=y（右消去律） \end{gathered}$$

定理12.2.8 非空有限集合G对其二元代数运算"$\circ$"构成群的充分必要条件是下两条件同时成立：

1. "$\circ$"满足结合律。
2. "$\circ$"满足左右消去律。

定义12.2.1设(G, $\circ$)是一个群，$a\in G$，使$a^n=e$的最小正整数n称为a的阶。如果不存在如此的正整数，则称a的阶为无穷大。

定理12.2.9 有限群的每个元素的阶不超过该有限群的阶。

12.3 子群、生成子群

定义12.3.1 设S是群G的非空子集。如果G的乘法在S中封闭且S对此乘法也构成一个群，则称S是G的一个子群。

定理12.3.1 设$G_1$是G的子群，则$G_1$的单位元必是G的单位元；$G_1$的元素a在$G_1$中的逆元素也是a在G中的逆元素。

定理12.3.2 群G的任意多个子群的交还是G的子群。

定理12.3.3 任一群不能是其两个真子群的并。

定理12.3.3 群G的非空子集S为G的子群的充分必要条件是

1. $\forall a,b\in S,ab\in S$，且
2. $\forall a\in S,a^{-1}\in S$

定理12.3.4 群G的非空子集S是G的子群的充分必要条件是$\forall a,b\in S$，总有$a{b}^{-1}\in S$。

定理12.3.5 群G的有限非空子集F是G的子群的充分必要条件是$FF\subset F$，即$\forall a,b\in F,ab\in F$。

定义12.3.2 群G的元素a称为G的中心元素，如果a与G的每个元素可交换，即$\forall x\in G$有ax=xa。G的中心元素所构成的集合C称为G的中心。

定理12.3.6 群G的中心C是G的可交换子群。

定义12.3.3 设M是群G的子集，G的包含M的所有子群的交称为由M生成的子群，记为(M)。

定义12.3.4 设G是一个群，a和b是G的两个任意的元素，$ab{a}^{-1}{b}^{-1}$称为a与b的换位子。G的所有换位子的集合所生成的子群称为G的换位子群。显然，G是交换群当且仅当单位元e是G唯一的交换子。

12.4 变换群、同构

定义12.4.1 设($G_1,\circ$)、($G_2,\ast$)是群。如果存在一个一一对应$\varphi ：G_1\to G_2$，使得$\forall a,b\in G_1$，有
$$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\ast \varphi (b)$$
则称群$G_1$与$G_2$同构，记为$G_1=G_2$，而$\varphi$称为$G_1$到$G_2$上的一个同构。

定义(Sym) 设S是一个非空集合。从S到S到所有一一对应之集记为$Sym(S)$，则$Sym(S)$对映射的合成构成一个群，称为S上的对称群。

定义12.4.2 $Sym(S)$的任一子群称为S上的一个变换群。$S_n$的任一子群称为置换群。

定理12.4.1 (群的Caley同构定理) 任何一个群都同构于某个变换群。

推论12.4.1 任一n阶有限群同构于n次对称群$S_n$的一个n阶子群。亦即有限群同构于某个置换群。

定义12.4.3 设(G, $\circ$)是一个群，如果存在一个从G到G的一个一一对应$\varphi$使得$\forall a,b\in G$
$$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)$$
则称$\varphi$是G的一个自同构。

定理12.4.2 设G是一个群，G的所有自同构之集A(G)对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。

定义12.4.4 群G的由其元素a确定的自同构
$$\varphi (x)=ax{a}^{-1},\forall x\in G$$
称为G的内自同构，G的其它自同构称为外自同构。

定义12.4.5 设(G, $\circ$)是一个群，在G上定义二元关系R如下：$\forall a,b\in G$，aRb当且仅当有G的内自同构$\varphi$使$b=\varphi (a)$。称R为G的共轭关系。如果$aRb$，则称a与b共轭。

12.5 循环群

定义12.5.1 群G称为循环群，如果G是由其中的某个元素a生成的，即(a)=G。如果循环群G是由a生成的，则$\forall b\in G$，存在一个整数n使得$b=a^n$。循环群必是交换群。

定理12.5.1 循环群$G=(a)$是无穷循环群的充分必要条件是a的阶为无穷大。这时
$$G=\{...,a^{-n},...,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,...,a^n,...\}$$
循环群G=(a)是n阶循环群的充分必要条件是a的阶为n。这时
$$G=\{e,a,a^2,...,a^{n-1}\}$$
定理12.5.2 (1)无穷循环群同构于整数加群，即如果不计同构，则无穷循环群只有一个，就是整数加群$(Z,+)$。(2)阶为n的有限循环群同构于模n的同余类加群($Z_n,+$)，即如果不计同构，则n阶循环群只有一个，就是模n同余类加群。

定理12.5.3 设G=(a)是由a生成的循环群，则

1. 循环群的子群仍为循环群。
2. 如果G是无限循环群，则G的子群或为$H_0=\{e\}$，或是某个具有最小正指数的元$a^m$生成的。于是，对m=1,2,…
   $$H_0=\{e\},H_m=(a^m)$$
   是G的所有子群。
3. 无限循环群中，除了$H_0=\{e\}$以外，都是无穷循环子群，从而同构且都同构于G。
4. 阶为n的循环群中，每个子群的阶整除n。对n的任一因子q，必有一个阶为q的子群。于是，G的全部子群为
   $$H_0=\{e\},H_m=(a^m),m|n$$
   每个子群的阶为n/m。

定理12.5.4 设G是一个有限阿贝尔群，则G是循环群的充分必要条件是
$$|G|=min\{n|\forall a\in G,a^n=e\}$$

引理12.5.1 设G是一个阿贝尔群，a和b是G的两个不同元素，其阶分别为m和n且m和n互素，则

1. 由a生成的子群(a)与由b生成的子群(b)的交为{e}，即$(a)\cap (b)=\{e\}$。
2. ab的阶为mn。
3. (ab)={|a, b|}，即由ab生成的子群等于由{a, b}生成的子群。

引理12.5.2 设G是一个有限阿贝尔群，则G中含有一个元素g，g的阶能被G的每一个元素的阶整除。

12.6 子群的陪集、拉格朗日定理

定义12.6.1 设H是群G的一个子集，a为G的任一元素。集合aH称为子群H的一个左陪集，Ha称为H的一个右陪集。

定理12.6.1 设H是群G的子群，$a\in G$，则aH=H的充分必要条件是$a\in H$。

定理12.6.2 设H是群G的子群，则$\forall a,b\in G,aH=bH$当且仅当$a^{-1}b\in H$。

定理12.6.3 设H是G的子集，则$\forall a,b\in G$，aH=bH或$aH\cap bH=\varnothing$。

定理12.6.4 设H是G的子群，$\forall a,b\in G$有$|aH|=|bH|$。

定理12.6.5 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的集族就是G的一个划分。

定理12.6.6 令H是群G的子群，$S_l$是H的所有左陪集构成的集族，$S_r$为H的所有右陪集构成的集族，则$|S_l|=|S_r|$。

定理12.6.7 (拉格朗日) 设G是一个阶为N的有限群，H是G的一个n阶子群，则
$$N=n\cdot [G:H]$$
于是，有限群的阶数能被其每个子群的阶整除。

推论12.6.1 有限群中每个元素的阶能整除该有限群的阶。

推论12.6.2 如果群G的阶p是素数，则G是一个循环群。

推论12.6.3 设G是一个N阶群，则对G的每个元素a都有$a^N=e$。

12.7 正规子群、商群

一些定义 设G是一个群，G的任意子群称为群子集。今在$2^G$中借助于G的乘法引入一个代数运算，称为群子集的乘法：$\forall A,B\in 2^G$，
$$AB=\{ab|a\in A且b\in B\}$$
其次，$\forall A\in 2^G$，定义$A^{-1}=\{a^{-1}|a\in A\}$

定理12.7.1 设G是一个群，则$\forall A,B,C\in 2^G$，有(AB)C=A(BC)。其次，如果H是G的子群，则$HH=H,H^{-1}=H,H{H}^{-1}=H$。

定理12.7.2 设A、B是群G的子群，则AB是G的子群的充分必要条件是AB=BA。

定义12.7.1 设H是群G的子群。如果$\forall a\in G$有$aH=Ha$，则称H是G的正规子群。于是，交换群的任意子群都是正规子群，群G的中心C必是正规子群。对于任意的群G，{e}是G的正规子群。

定理12.7.3 设H是群的一个子群，则下列三个命题等价：

1. H是G的正规子群。
2. $\forall a\in G，aH{a}^{-1}=H$。
3. $\forall a\in G，aH{a}^{-1}\subset H$。

定理12.7.4 群G的子群H是G的正规子群当且仅当对G的任一内自同构$\varphi$有$\varphi (H)=H$。

定义12.7.2 设H是群的子群，如果对G的任一自同构$\varphi$有$\varphi (H)\subset H$，则称H为G的特征子群。于是，群G的特征子群是正规子群。

定理12.7.5 设H是G的正规子群，H的所有左陪集构成的集族$S_l$对群子集乘法形成一个群。

定义12.7.3 群G的正规子群H的所有左陪集构成的集族，对群子集乘法构成的群称为G对H的商群，记为G/H。

定义12.7.4 设X是一个集合，$\circ$是X上的一个二元代数运算，$=$是X上的一个等价关系。我们称$=$是关于X的代数运算$\circ$是左不变的，如果$a=b$，则$\forall x\in X$有$x\circ a=x\circ b$。类似地，$=$是对$\circ$是右不变的，如果$a=b$，则$\forall x\in X$有$a\circ x=b\circ x$。如果$=$对$\circ$既是左不变的又是右不变的，则称$=$对X上的代数运算$\circ$是不变的。

定理12.7.6 设H是群G的子群，则H是正规子群的充分必要条件是G上的由H确定的等价关系$=$：
$$a=b当且仅当a{b}^{-1}\in H$$
对G中的乘法是不变的。

定理12.7.7 设$\varphi$为群的一个划分，对G的每个元素x,y，x与y所在类记为[x], [y]。在$\varphi$上定义乘法如下：
$$[x][y]=[x\circ y]$$
则这个乘法是$\varphi$上的二元代数运算当且仅当由划分$\varphi$所确定的G的等价关系$=$是G上的同余关系（对乘法是不变的）。这时，G的单位元所在的类[e]是G的正规子群，$\varphi$中的其它类均是[e]的陪集。

12.8 同态基本定理

定义12.8.1 设(G, $\circ$)与($\overline{G},\cdot$)是两个群，如果存在一个从G到$\overline{G}$到映射$\varphi$，使得$\forall a,b\in G$有
$$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$$
则称$\varphi$为G到$\overline{G}$的一个同态，而称G与$\overline{G}$同态。如果同态$\varphi$是满射，则称$\varphi$为G到$\overline{G}$到一个满同态，这时说G与$\overline{G}$是满同态，并记为$G～\overline{G}$。类似的，如果同态$\varphi$是单射，则称$\varphi$为单同态。显然，同态$\varphi$是同构当且仅当$\varphi$是可逆的。

定理12.8.2 设(G, $\circ$)是一个群，$\overline{G}$是一个具有二元代数运算"$cdot$"的代数系。如果存在一个满射$\varphi$：G$\to \overline{G}$使$\forall a,b\in G$有
$$\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$$
则($\overline{G},\cdot$)是一个群。

定理12.8.3 设$\varphi$是从群(G, $\circ$)到($\overline{G},\cdot$)的满同态，则$\overline{G}$的单位元$\overline{e}$的完全原象${\varphi }^{-1}(\overline{e})=\{x|x\in G,\varphi (x)=\overline{e}\}$是G的一个正规子群。

定义12.8.2 设$\varphi$是群(G, $\circ$)到群($\overline{G},\cdot$)的满同态，$\overline{e}$是$\overline{G}$的单位元，则G的正规子群${\varphi }^{-1}(\overline{e})$成为同态$\varphi$的核，记为$Ker\varphi$。$\varphi (G)$成为在$\varphi$下G的同态象。显然，当$\varphi$是同态（未必是满的）时，则G ~ $\varphi (G)$。

定理12.8.4 设$\varphi$是从群G到群$\overline{G}$的满同态，则

1. 如果H是G的子群，那么$\varphi (H)$是$\overline{G}$的子群。
2. 如果N是G的正规子群，那么$\varphi (N)$是$\overline{G}$的正规子群。
3. 如果$\overline{H}$是$\overline{G}$的子群，那么${\varphi }^{-1}(\overline{H})$是G的子群。
4. 如果$\overline{N}$是$\overline{G}$的正规子群，那么${\varphi }^{-1}(\overline{N})$是G的正规子群。

定理12.8.5 设N是G的正规子群，则G ~ G/N。如果$\varphi$是G到G/N到同态，则$Ker\varphi =N$。

定理12.8.6 (群到同态基本定理)设$\varphi$是群G到群$\overline{G}$的满同态，$E=Ker\varphi$，则
$$G/E=\overline{G}$$

定理12.8.7 群G的任一满同态$\varphi$均可分解成一个自然同态$\gamma$与一个同构$f$的合成，即$\varphi =f\circ \gamma$，并且$f$是唯一的。

定理12.8.8 设$\varphi$是从群G到群$\overline{G}$的满同态，$\overline{H}$是$\overline{G}$的正规子群，$H={\varphi }^{-1}(\overline{H})$，则
$$G/H=\overline{G}/\overline{H}$$

定理12.8.9 设K是G的正规子群，H是G的任一子群，则$K\cap H$是H的正规子群，并且
$$HK/K=H/(K\cap H)。$$

13.1 （环和域）定义及简单性质

定义13.1.1 设R是一个非空集合，R中有两个代数运算，一个叫做加法并用加号"+“表示，一个叫做乘法并用”$\circ$"表示。如果

1. (R, +)是一个阿贝尔群
2. (R, $\circ$)是一个半群
3. 乘法对加法满足左右分配律：$\forall a,b,c\in R$有
   $$\begin{gathered} A\circ (b+c)=(a\circ b)+(a\circ c) \\ (b+c)\circ a=(b\circ a)+(c\circ a) \end{gathered}$$
   则称代数系(R, +, $\circ$)为一个环。

定义13.1.2 环(R, +, $\circ$)成为交换环或可交换环，如果其中的乘法满足交换律，即$\forall a,b\in R,有ab=ba$。

定义13.1.3 环(R, +, $\circ$)称为有限环，如果R是有限非空的集合。

一些环的定义 在环(R, +, $\circ$)中，加法的单位元用"0"表示，并成为R的零元（素）。$\forall a\in R$，a对加法的逆元素记为-a，并成为a的负元（素）。R中加法的逆运算称为减法，用"-"表示，$\forall a,b\in R$，a-b定义为a+(-b)。其次，a对加法的m次幂记为ma，当m>0时，ma定义为m个a相加，即1a=a，(m+1)a=ma+a。而当m<0时，ma定义为(-m)(-a)。当m=0时，0a=0，其中左边的"0"是数零，右边的"0"是R的零元素。

环的简单性质 由于环(R, +, $\circ$)对加法构成一个阿贝尔群，所以具有阿贝尔群的一切性质。因此，$\forall a,b,c\in R，m,n\in Z$，有

1. $0+a=a+0=a$
2. $a+b=b+a$
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$
4. $-a+a=a+(-a)=0$
5. $-(a+b)=-a-b$
6. $a+c=b⟺a=b-c$
7. $-(-a)=a$
8. $-(a-b)=-a+b$
9. $ma+na=(m+n)a$
10. $m(na)=(mn)a$
11. $m(a+b)=ma+mb$
12. $n(a-b)=na-nb$
13. 由于(R, $\circ$)是半群，所以$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
14. 加法与乘法由左右分配律联系起来，即
    $$\begin{gathered} a\circ (b\circ c)=(a\circ b)+(a\circ c) \\ (b+c)\circ a=(b\circ a)+(c\circ a) \end{gathered}$$
15. $\forall a\in R，0\circ a=a\circ 0=0$
16. $(-a)\circ b=-(a\circ b)，a\circ (-b)=-(a\circ b)$
17. $(-a)(-b)=ab$
18. $a(b-c)=ab-ac$
19. $({\sum }_{i=1}^n{a}_i)({\sum }_{i=1}^m{b}_i)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_i{b}_j$
20. $(na)b=a(nb)=n(ab)$
21. 如果ab=ba，则二项式定理成立，即当n>0时，有
    $$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n(\frac{n}{i})a^i{b}^{n-i}$$

定义13.1.4 设(R, +, $\circ$)是一个环，$a\in R$，如果存在一个元素$b\in R，b\ne 0$，使得ab=0，则称a是R的一个左零因子。如果存在一个元素$c\in R，c\ne 0$，使ca=0，则称a为R的一个右零因子。如果a既是R的左零因子，又是R的右零因子，则称a为R的零因子。于是，环R的零元素必是一个零因子。

定义13.1.5 没有非零的左零因子，也没有非零的右零因子的环称为无零因子环。可换无零因子环称为整环。在无零因子环中，由ab=0必能推出a=0或b=0。

定理13.1.1 环R是无零因子环的充分必要条件是在R中乘法满足消去律。即
$$\begin{gathered} 如果a\ne 0，ab=ac，则b=c \\ 如果a\ne 0，ba=ca，则b=c \end{gathered}$$

定义13.1.6 一个环称为一个体，如果它满足一下两个条件

1. 它至少含有一个非零元素
2. 非零元素的全体对乘法构成一个群

定义13.1.7 可换体称为域。在体和域中，乘法有单位元素，非零元素对乘法有逆元素。在体和域中没有零因子。

定理13.1.2 至少有一个非零元素的无零因子有限环是体。

定义13.1.8 仅有有限个元素的体（域）称为有限体（域）。

定理13.1.3 环(R, +, $\circ$)是体的充分必要条件是$R/\{0\}\ne \varnothing$且$\forall a,b\in R/\{0\}$，方程$ax=b(xa=b)$在R中有解。

定义13.1.9 环(R, +, $\circ$)的非空子集S若对其中的加法和乘法也形成一个环，则S称为R的子环。

定义13.1.10 设(F, +, $\circ$)是体（域），$E\subset F$，如果E对F的加法和乘法也形成一个体（域），则E称为F的子体（域）。

定理13.1.4 环R的非空子集S是R的子环的充分必要条件是

1. $\forall a,b\in S，有ab\in S$
2. $\forall a,b\in S，a-b\in S$
   体F的非空子集E是F的一个子体，当且仅当以下三个条件同时成立：
3. $|E|\ge 2$
4. $\forall a,b\in E，a-b\in E$
5. $\forall a,b\in E，a\ne 0，b\ne 0，a{b}^{-1}\in E$

13.2 无零因子环的特征数

定理13.2.1 在一个无零因子环中，每个非零元素对加法的阶均相同。

推论13.2.1 体和域中每个非零元素对加法的阶均相同。

定义13.2.1 无零因子环中非零元素对加法的阶称为该环的特征数，简称特征。域（体）中非零元素对加法的阶称为域（体）的特征数，简称特征。

定理13.2.2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p是素数。

推论13.2.2 整环、体、域的特征数或是无穷大，或是一个素数。

定理13.2.3 在特征为p的域里
$$\begin{gathered} (a+b{)}^p=a^p+b^p \\ (a-b{)}^p=a^p-b^p \end{gathered}$$

13.3 同态、理想子环

定义13.3.1 设(R, +, $\circ$)与$(\overline{R},\overline{+},\overline{\circ })$是两个环（体、域），如果存在一个一一对应$\varphi ：R\to \overline{R}$，使得$\forall a,b\in R$，有
$$\begin{gathered} \varphi (a+b)=\varphi (a)\overline{+}\varphi (b) \\ \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\overline{\circ }\varphi (b) \end{gathered}$$
则称R与$\overline{R}$同构，记为R$=\overline{R}$，$\varphi$称为R到$\overline{R}$到一个同构。

定理13.3.1 设(R, +, $\circ$)是一个环（体或域），$(\overline{R},\overline{+},\overline{\circ })$是一个有两个二元代数运算的代数系，如果存在一个一一对应$\varphi ：R\to \overline{R}$使得(1)和(2)成立，则$\overline{R}$是一个环（体或域）。

定义13.3.2 设(R, +, $\circ$)和$(\overline{R},\overline{+},\overline{\circ })$是两个环，如果存在一个映射$\varphi ：R\to \overline{R}$使得$\forall a,b\in R$有
$$\begin{gathered} \varphi (a+b)=\varphi (a)\overline{+}\varphi (b) \\ \varphi (a\circ b)=\varphi (a)\overline{\circ }\varphi (b) \end{gathered}$$
则称$\varphi$是从R到$\overline{R}$到一个同态，而R与$\overline{R}$称为是同态的。如果同态$\varphi$还是满射，则称$\varphi$是一个满同态，并且称R与$\overline{R}$是满同态，此时记为R~$\overline{R}$。显然，同态$\varphi$是同构当且仅当$\varphi$是可逆的。

定理13.3.2 设$\varphi$是从环R到环$\overline{R}$到同态，则

1. 如果0与$\overline{0}$分别为R与$\overline{R}$到零元素，则$\varphi (0)=\overline{0}$
2. 如果R与$\overline{R}$分别有单位元素e和$\overline{e}$，则$\varphi (e)=\overline{e}$
3. $\forall a\in R，\varphi (-a)=-\varphi (a)$
4. 如果$a\in R$，a有逆元素$a^{-1}$，则$\varphi (a^{-1})=(\varphi (a){)}^{-1}$
5. 如果S是R的一个子环，则$\varphi (S)$是$\overline{R}$的子环。
6. 如果$\overline{S}$是$\overline{R}$的子环，则${\varphi }^{-1}(\overline{S})$是R的子环。

定义13.3.3 环R的子环N称为左（右）理想子环，如果$\forall r\in R$都有$rN\subset N（Nr\subset N）$。左（右）理想子环简称左（右）理想。如果N既是R的左理想，也是R的右理想，则称N为R的理想。如果R是一个可换环，则R的左右理想一致。环R的非空子集N是R的一个理想的充分必要条件是

1. $\forall n_1,n_2\in N，(n_1-n_2)\in N$
2. $\forall r\in R，n\in N，rn\in N，nr\in N$
   显然，任一非零环R至少有两个理想：一个是R本身，另一个是{0}。除了这两个理想之外，如果R还有其它的理想，那么就把它称为R的真理想。

定理13.3.2 设$\{H_l{\}}_{l_I}$是环R的一些理想构成的集族，则${\cap }_{l\in I}{H}_l$是R的理想。

推论13.3.1 设A是环R的一个非空子集，则R中包含A的一切理想的交是R的一个理想。

定义13.3.4 设A是环R的一个非空子集，R中包含A的一切理想的交称为由A生成的理想，记为(A)。如果A={a}，则(A)简记为(a)。如果A={$a_1,...,a_n$}，则(A)简记成($a_1,...,a_n$)。环R中的由一个元素啊生成的理想(a)称为R的主理想。如果R是一个可换环，$a\in R$，则
$$(a)=\{ra+na|r\in R,n\in Z\}$$
如果R还有单位元素，则
$$(a)=\{ra|r\in R\}$$
对任一环R，零理想子环{0}是主理想，如果R有单位元e，则R也是主理想，且R=(e)。

定理13.3.3 设$a_1,a_2,...,a_n$是可换环R的n个元素，则
$$(a_1,a_2,...,a_n)=\{\sum _{i=1}^n{r}_i{a}_i+\sum _{i=1}^n{n}_i{a}_i|r_i\in R,n_i\in Z,i=1,2,...,n\}$$
一般地，如果A是可换环R的非空子集，则
$$(A)=\{\sum r_i{a}_i+\sum n_i{a}_i|r_i\in R,n_i\in Z,a_i\in A\}$$
其中$\sum$表示有限求和。

定理13.3.4 体和域只有两个理想，它们是零理想{0}及体和域自身。因此，理想这个概念对体和域是无用处的。