数据结构复习--树

树和二叉树

内容提纲

• 树的概念
• 二叉树的概念
• 二叉树的存储结构
• 二叉树基本运算及其实现
• 二叉树的遍历
• 二叉树的构造
• 线索二叉树
• 哈夫曼树
• 杂项

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树的概念

树的定义

形式化定义：

对于树：T={D, R}，D是包含n个结点的有限集合，当n=0时为空树，否则关系R满足以下条件：

• 有且仅有一个根节点
• 除根节点之外，每个节点有且仅有一个前驱结点
• 每个节点可以有零个或者多个后继结点

递归定义：

树是由n个结点组成的有限集合，其中：

• 如果n=0，则其为空树
• 如果n>0，则存在唯一一个根节点，该根节点的每一个孩子节点又作为一棵子树的根节点。

树的(逻辑)表示方法

• 树型表示法
• 文氏图表示法
• 凹入表示法
• 括号表示法

树的一些性质

• 树中的节点数=所有节点的度数之和+1
• 度为m的树中第i层上至多有$m^{i-1}$个节点
• 高度为h的m次树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个节点
• 有n个节点的m次树的最小高度为$\lceil$${\log }_m(n(m-1)+1)$$\rceil$

树的基本运算

• 查找
  • 先根遍历
  • 后根遍历
  • 层次遍历
• 插入或删除
• 遍历

树的存储结构

• 双亲存储结构
• 孩子链存储结构
• 孩子兄弟链存储结构

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二叉树的概念

二叉树的定义

二叉树是有限的节点的集合：

• 集合为空
• 集合由一个根节点和两个互不相交的左右子二叉树组成

二叉树的(逻辑)表示方法:

同树

二叉树和二次树的区别

• 二叉树是有序的
• 二叉树包括空树

特殊的二叉树

• 满二叉树
  • 所有分支节点都是双分支节点
  • 所有叶节点都集中在二叉树的最下一层
• 完全二叉树
  • 最多只有下面两层的节点度数小于2
  • 最下面一层的叶节点都依次排列在最左边的位置上

二叉树的性质：

• 所有二叉树的性质
  • 具有所有树的性质
  • 非空二叉树叶节点数=双分支节点数+1
• 完全二叉树的性质
  • 具有所有二叉树的性质
  • 度为1的节点数为1(n为偶数)或1(n为奇数)
  • 若i$\le \lfloor n/2\rfloor$，则编号为i的节点为分支节点，否则为叶节点
  • 除根节点外，若一个节点的编号为i，则它的双亲结点编号为$\lfloor i/2\rfloor$

二叉树与树、森林之间的转化

1. 森林、树转化为二叉树

   1. 在所有相邻兄弟节点(森林中每棵树的根节点可看成是兄弟节点)之间加一水平连线
   2. 对每个非叶节点k，除了其最左边的孩子节点外，删去k与其他孩子节点的连线

2. 二叉树还原为森林、树

   1. 对于二叉树的某一个节点k，链接k与k的左孩子的所有右孩子节点，删去k的左孩子与右孩子节点之间的连线
   2. 若根节点有右孩子节点，将其分成两个不同的子树。

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二叉树的存储结构

顺序存储结构

为了简便，我们不用下标为0的元素

若为完全二叉树，则将节点按层序编号

若为非完全二叉树，将其补全后(可以利用特殊符号填补空缺)再按层序标号

二叉树的链式存储结构

节点的类型定义：

typedef ElemType int;
typedef struct node
{
    ElemType data;
    struct node *lchild, *rchild;
}BTNode;

在n个节点的二叉链中，空指针的个数=n+1

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二叉树的基本运算及其实现

• 创建二叉树
• 销毁二叉链存储结构
• 查找结点
• 找孩子节点
• 求高度
• 输出二叉树

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二叉树的遍历

• 递归遍历方法
  • 先序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
• 层次遍历

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二叉树的构造

已知二叉树的序列中的两个

• 可以唯一的确定二叉树：
  • 先序序列和中序序列
  • 中序序列和后续序列
• 不能唯一的确定二叉树
  • 先序序列和后续序列

可以唯一确定二叉树的原因为：

可以根据先序/后序确定根节点，从而在中序中找出根节点以及左子树和右子树，往下递归即构造出二叉树

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线索二叉树

很是懵逼

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哈夫曼树

定义

• 带权路径长度：从根节点到各个叶节点的路径长度与相应节点权值的乘积的和
• 哈夫曼树(最优树)：最有最小带权路径长度的二叉树

构造：

• 哈夫曼树的构造原则：
  • 权值越大的叶节点越靠近根节点
  • 权值越小的叶节点越远离根节点
• 哈夫曼树的构造过程(若有n个节点)：
  1. 构造n棵只有一个叶节点的二叉树，得到二叉树集合T
  2. 在T中选取根节点权值最小的两棵二叉树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，根节点的权值为其左、右子树根节点的权值之和
  3. 在集合T中删除左、右子树，并将新构造的二叉树加入到集合中
  4. 重复2，3直到T中只剩下一棵二叉树，此即哈夫曼树

哈夫曼树的特点：

• 没有单分支节点
• n=2$n_0$-1

哈夫曼编码

• 哈夫曼编码属于0、1二进制编码
• 规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1
• 叶节点对应的字符编码用从根节点到该叶节点所经过的分支对应的0、1序列表示
• 哈夫曼编码的特点：
  • 权值越大的字符编码越短，反之越长
  • 一组哈夫曼编码中，一个字符的哈夫曼编码不可能是另一个字符哈夫曼编码的前缀
  • 哈夫曼编码也成为前缀编码

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杂项

• n个不同的节点构造的二叉树个数为Catalan数：$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

• n个节点并且高度为n的不同形态的二叉树个数为：$2^{n-1}$

• 二叉树中节点的计算办法：

  • 二叉树中所有节点的度$\le 2$
  • 分支数=所有节点度之和=n-1
  • $n=n_0+n_1+n_2=n_1+2n_2+1$

• 二叉树中节点的计算方法

  • 节点个数为n，树型可以唯一确定
  • 叶子节点个数为$n_0$，树型不能唯一确定
  • 高度$h=\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$，是n个节点高度最小的二叉树

• 二叉树的构造：

  • 由中序序列和先序序列可以唯一的构造一棵二叉树
  • 由中序序列和后序序列可以唯一的构造一棵二叉树
  • 由中序序列和层次序列可以唯一的构造一棵二叉树

• 由一个固定的先序序列(含有n个不同的节点)，构造的二叉树个数为：$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

• 例题：

  • 一棵度为10，节点个数为n的树采用孩子链存储结构时，其中非空指针域数占总指针域数的比例为：10%
  • 在树的孩子兄弟链存储结构中，有6个空的左指针域，7个空的右指针域，5个节点左、右指针域都为空，则该树中叶子节点个数为：6(等于左指针域为空的个数)
  • 有一棵三次数，其中$n_3=2,n_2=2,n_1=1$，当该树采用孩子兄弟链存储结构时，其中非空指针域数占总指针域数的比例约为：45%
  • 设F是一个森林，B是F变换的二叉树。若F中有m个分支节点，则B中右指针域为空的节点有m+1个
  • 一棵有124个叶子节点的完全二叉树最多的节点数为：248
  • 若二叉树采用二叉链存储结构，如果要交换其所有分支节点左、右子树的位置，利用：后序遍历方法
  • 某二叉树的先序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是：高度等于其节点数