酒腌咸鱼
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2017年哈工大数理逻辑B期末考试参考答案(2)

六 、 在 N D 中 证 明 ： 六、在ND中证明： 六、在ND中证明：
( 1 ) ⊢ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) → ( ¬ A ∨ C ) (1)\vdash (\neg A\lor B)\land (\neg B\lor C)\to (\neg A\lor C) (1)⊢(¬A∨B)∧(¬B∨C)→(¬A∨C)
只 需 证 ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ⊢ ( ¬ A ∨ C ) 演 绎 定 理 只需证(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\vdash(\neg A\lor C)\quad 演绎定理 只需证(¬A∨B)∧(¬B∨C)⊢(¬A∨C)演绎定理
1. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ⊢ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) 公 理 1.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\vdash (\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\quad 公理 1.(¬A∨B)∧(¬B∨C)⊢(¬A∨B)∧(¬B∨C)公理
2. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ⊢ ¬ A ∨ B 1 ∧ 消 除 2.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\vdash \neg A\lor B\quad 1\land消除 2.(¬A∨B)∧(¬B∨C)⊢¬A∨B1∧消除
3. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; ¬ A ⊢ ¬ A 公 理 3.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);\neg A\vdash \neg A\quad 公理 3.(¬A∨B)∧(¬B∨C);¬A⊢¬A公理
4. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; ¬ A ⊢ ¬ A ∨ C 3 ∨ 引 入 4.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);\neg A\vdash \neg A\lor C\quad 3\lor引入 4.(¬A∨B)∧(¬B∨C);¬A⊢¬A∨C3∨引入
5. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ⊢ ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) 公 理 5.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B\vdash (\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\quad 公理 5.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B⊢(¬A∨B)∧(¬B∨C)公理
6. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ⊢ ¬ B ∨ C 5 ∧ 消 除 6.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B\vdash \neg B\lor C\quad 5\land消除 6.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B⊢¬B∨C5∧消除
7. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ; ¬ B ⊢ B 公 理 7.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B;\neg B\vdash B\quad 公理 7.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B;¬B⊢B公理
8. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ; ¬ B ⊢ ¬ B 公 理 8.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B;\neg B\vdash \neg B\quad 公理 8.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B;¬B⊢¬B公理
9. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ; ¬ B ⊢ C 8 , 9 ¬ 消 除 9.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B;\neg B\vdash C\quad 8,9\neg消除 9.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B;¬B⊢C8,9¬消除
10. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ; C ⊢ C 公 理 10.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B;C\vdash C\quad 公理 10.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B;C⊢C公理
11. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ⊢ C 6 , 9 , 10 ∨ 消 除 11.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B\vdash C\quad 6,9,10\lor消除 11.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B⊢C6,9,10∨消除
12. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ; B ⊢ ¬ A ∨ C 11 ∨ 引 入 12.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C);B\vdash \neg A\lor C\quad 11\lor引入 12.(¬A∨B)∧(¬B∨C);B⊢¬A∨C11∨引入
13. ( ¬ A ∨ B ) ∧ ( ¬ B ∨ C ) ⊢ ( ¬ A ∨ C ) 2 , 4 , 12 ∨ 消 除 13.(\neg A \lor B)\land (\neg B\lor C)\vdash(\neg A\lor C)\quad 2,4,12\lor消除 13.(¬A∨B)∧(¬B∨C)⊢(¬A∨C)2,4,12∨消除
( 2 ) ⊢ ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ) → A (2)\vdash (\neg A\to \neg (A\to \neg B) )\to A (2)⊢(¬A→¬(A→¬B))→A
只 需 证 ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ⊢ A 演 绎 定 理 只需证\neg A\to \neg(A\to \neg B)\vdash A\quad 演绎定理 只需证¬A→¬(A→¬B)⊢A演绎定理
1. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ⊢ ¬ A 公 理 1.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A\vdash \neg A\quad 公理 1.¬A→¬(A→¬B);¬A⊢¬A公理
2. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ⊢ ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) 公 理 2.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A\vdash \neg A\to \neg(A\to \neg B)\quad 公理 2.¬A→¬(A→¬B);¬A⊢¬A→¬(A→¬B)公理
3. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ⊢ ¬ ( A → ¬ B ) 1 , 2 → 消 除 3.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A\vdash \neg (A\to \neg B)\quad 1,2\to 消除 3.¬A→¬(A→¬B);¬A⊢¬(A→¬B)1,2→消除
4. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ; A ⊢ ¬ A 公 理 4.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A;A\vdash \neg A\quad 公理 4.¬A→¬(A→¬B);¬A;A⊢¬A公理
5. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ; A ⊢ A 公 理 5.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A;A\vdash A\quad 公理 5.¬A→¬(A→¬B);¬A;A⊢A公理
6. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ; A ⊢ ¬ B 4 , 5 ¬ 消 除 6.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A;A\vdash \neg B\quad 4,5\neg 消除 6.¬A→¬(A→¬B);¬A;A⊢¬B4,5¬消除
7. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ; ¬ A ⊢ A → ¬ B 6 演 绎 定 理 7.\neg A\to \neg(A\to \neg B);\neg A\vdash A\to \neg B\quad 6演绎定理 7.¬A→¬(A→¬B);¬A⊢A→¬B6演绎定理
8. ¬ A → ¬ ( A → ¬ B ) ⊢ A 3 , 7 ¬ 引 入 8.\neg A\to \neg(A\to \neg B)\vdash A\quad 3,7\neg 引入 8.¬A→¬(A→¬B)⊢A3,7¬引入

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