非线性方程组的牛顿迭代法（含matlab程序）

非线性方程组的牛顿迭代法

定义：

非线性方程组如下所示

若采用向量可以表示为，，方程组可以写为F(x)=0。

将单个方程的牛顿迭代法直接应用于上述方程组，则可以得到非线性方程组的牛顿迭代法。

其中，为给出的雅克比矩阵的逆矩阵。

定理（收敛性）：

设F(x)的定义域为，满足F(x*)=0，在x*的开领域上F'(x)存在且连续，F'(x*)非奇异，则牛顿法生成的序列{x(k)}在闭域上超线性收敛于x*，若还存在常数L>0,使,则{x(k)}至少平方收敛。

步骤：

计算时计

先计算线性方程组求出向量

再令，每步包括了计算向量函数和

例题1（二元非线性方程组）

选

程序：

1、建立非线性方程组F.m函数文件

function f=F(x)
f(1)=x(1)^2-10*x(1)+x(2)^2+8;
f(2)=x(1)*x(2)^2+x(1)-10*x(2)+8;
f=[f(1),f(2)]';
2、建立雅克比矩阵DF.m函数文件

function df=DF(x)
df=[2*x(1)-10,2*x(2);x(2)^2+1,2*x(1)*x(2)-10];

3、编写迭代程序Nonlinearequations.m命令文件

clear;
clc;
x=[0,0]';
f=F(x);
df=DF(x);
fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2));
N=4;
for i=1:N
    y=-inv(df)*f;      
    x=x+y;
    f=F(x);
    df=DF(x);
    fprintf('%d %.7f %.7f\n',i,x(1),x(2));
    if norm(y)<0.0000001
        break;
    end
end

程序执行结果为：

0 0.0000000 0.0000000
1 0.8000000 0.8800000
2 0.9917872 0.9917117
3 0.9999752 0.9999685
4 1.0000000 1.0000000

例题2（三元非线性方程组）

给定初值，计算精度要求到停止。

程序及运行结果参照我的博客下载专区，文件名：三元非线性方程组的牛顿迭代法程序。

总结：牛顿迭代法是解非线性方程组中最重要的方法。在MATLAB库中，提供函数为fsolve来求解方程组的解。

其函数调用格式为X=fsolve(@fun,X0,option)    %MATLAB7的格式

求解过程会用到优化工具箱（Optimization Toolbox）。该工具箱提供了20多个选项，用户可使用optimset命令来讲它们显示出来。可以调用optimset()函数来改变某个选项，Display选项决定函数调用时的中间结构显示方式：off_不显示；iter表示每步显示,final只显示最终结果。

其函数调用格式为X=fsolve(fun,X0)                   %MATLAB2016的格式

fun为待求根的函数文件名，X0为搜索的起点。