种树 题解

原题链接
大致题意：给你$n$个数，你最多可以选择其中不相邻的$k$个数，使得其总和最大。

设$asd[i][j]$表示到了第$i$个位置，种了$j$棵树的最大收益。

转移为：

$asd[i][j]=max(asd[i-1][j],asd[i-2][j-1]+a[i])$

需要注意下边界

时间复杂度：$O(nk)$，预计得分$50pts$

#include
using namespace std;
#define f1(a,b,c) for(int c=a;c<=b;c++)
#define f2(a,b,c) for(int c=a;c>=b;c--)
#define f3(a,b,c) for(int c=a;c;c=b)
#define so1(a,n) sort(a+1,a+n+1,mycmp);
#define so2(a,n) sort(a+1,a+n+1);
#define ll long long
#define itn int
#define ubt int 
const int twx=6000+10;
const int inf=0x7fffffff;
ll read()
{
    ll sum=0;
    ll flag=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {
        if(c=='-')
        {
            flag=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        sum=((sum*10)+c-'0');
        c=getchar();
    }
    return sum*flag;
}
int n,k;
int a[twx];
int cyrcyr;
int asd[twx][twx/2];
void init()
{
    n=read();
    k=read();
    f1(1,n,i)
    {
        a[i]=read();
    }
    memset(asd,0,sizeof asd);
}
void work()
{
	asd[1][1]=a[1];
	f1(2,n,i)
    {
        f1(1,k,j)
        {
            asd[i][j]=max(asd[i-1][j],asd[i-2][j-1]+a[i]);
        }
    }
}
void print()
{
	f1(1,k,i)
	{
		cyrcyr=max(asd[n][i],cyrcyr); 
	}
	printf("%d\n",cyrcyr);
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    init();
    work();
    print();
	return 0;
}

但是由于本题数据量达到了$5e5$，$dp$不能拿全分，考虑优化。

首先考虑如何减小枚举规模，

当$k=1$时，显然可以直接取$n$个数中最大的数。

设最大的数为$a[i]$。

当$k=2$时，则可以知道有两种情况：

1.另外取一个与$a[i]$不相邻的$a[j]$。

2.取$a[i-1]$和$a[i+1]$而不选$a[i]$。

可以发现：如果$k=1$时的最优解是$a[i]$，那么就能吧$a[i-1]$和$a[i+1]$合并，因为它们要么同时被选，要么全部都不选。

证明：当$k=2$时，要么$a[i-1]$和$a[i+1]$都要被选要么都不选才能满足贪心，因为如果只选其一的话，它们中的任意一个都比$a[i]$小。

当我们选择了$a[i-1]$和$a[i+1]$时，获利就是$a[i-1]+a[i+1]-a[i]$。

所以当$a[i]$被选时，就把$a[i-1]$和$a[i+1]$删去，并把$a[i]$改成$a[i-1]+a[i+1]-a[i]$，重新去寻找最大值。

由于每次都是寻找最大值，所以可以用堆进行操作，直到堆中最大值小于$0$或取出$k$个数之后停止。

时间复杂度$O(k\log n)$，预计得分$100pts$

#include
using namespace std;
#define f1(a,b,c) for(int c=a;c<=b;c++)
#define f2(a,b,c) for(int c=a;c>=b;c--)
#define f3(a,b,c) for(int c=a;c;c=b)
#define so1(a,n) sort(a+1,a+n+1,mycmp);
#define so2(a,n) sort(a+1,a+n+1);
#define ll long long
#define itn int
#define ubt int 
const int twx=2e6+100;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll read()
{
    ll sum=0;
    ll flag=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
    {
        if(c=='-')
        {
            flag=-1;
        }
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        sum=((sum*10)+c-'0');
        c=getchar();
    }
    return sum*flag;
}
struct LV
{
    ll x;
    ll p;
    bool operator < (const LV & a) const 
    {
        return x<a.x;
    }
};
priority_queue<LV> q;
ll k,m,n;
LV y;
ll l[twx];
ll r[twx];
ll b[twx];
ll a[twx];
void init()
{
	n=read();
    k=read();
    m=0;
    f1(1,n,i)
    {
        a[i]=read();
        l[i]=i-1;
        r[i]=i+1;
        LV s;
        s.x=a[i];
        s.p=i;
        q.push(s);
    }
}
void work()
{
    a[0]=-inf;
    a[n+1]=-inf;
    l[0]=0;
    r[0]=1;
    l[n+1]=n;
    r[n+1]=n+1;
    f1(1,k,i)
    {
        while((b[q.top().p]==-1)&&(!q.empty()))
        {
            q.pop();
        }
        y=q.top();
		if(q.empty()) 
        {
            break;
        }
        q.pop();
        if(y.x<=0) 
        {
            break;
        }
        m=m+y.x;
        y.x=a[l[y.p]]+a[r[y.p]]-a[y.p];
        a[y.p]=y.x;
        b[l[y.p]]=-1;
        b[r[y.p]]=-1;
        r[l[l[y.p]]]=y.p;
        l[r[r[y.p]]]=y.p;
        l[y.p]=l[l[y.p]];
        r[y.p]=r[r[y.p]];
        q.push(y);
    }
}
void print()
{
	printf("%lld\n",m);
}
int main()
{
    init();
    work();
    print();
	return 0;
}