【高频电子线路】—— 选频网络1 之 串联谐振网络

一、串联谐振网络

我们一般会使用谐振网络来对信号进行选频。具体来讲，我们利用谐振现象；当信号处于谐振频率时，电路的总阻抗最小，为 $R$，回路中的电流最大。
我们看看串联谐振的电路：

注意，这里的 $R$ 是电感线圈的损耗（并不是外加电阻），电路的总阻抗为：$$X=R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$
因此，我们可以发现当信号的频率恰好为：${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ 时电路的总阻抗最小，为 $R$

因此，我们下面就可以画出阻抗-频率曲线（a）和电流-频率曲线（b）

分析图（a）可知，在频率 ${\omega }_0$ 的左侧，$\omega L<\frac{1}{\omega C}$，因此，电路中电容C较强势，电路呈容性；在频率 ${\omega }_0$ 右侧，则 $\omega L>\frac{1}{\omega C}$，因此，电路呈感性。

图（b）也可以发现，在频率为 ${\omega }_0$ 时，电路的电流最大。品质因数的问题我们暂且不管他，放在下一节学习。

1.1 品质因数的一种定义和意义

【1】我们定义：用品质因数 Q 去衡量电感线圈的损耗。也就是说用电感的电抗比上电感线圈的损耗，即：$$Q=\frac{\omega L}{R}$$

而在谐振时，因为我们有：$${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}$$
因此，我们再定义一个回路的品质因数（注意：回路的品质因数只有在谐振时才有，但是电感的品质因数是一直都存在的！!）那么，回路的品质因数我们定义为：$$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}RC}$$

下面，我们看看在谐振发生时，电路中电感线圈和电容的电压分别是多少：

$$\dot{U_L}=\frac{j{\omega }_{0}L}{R}\dot{U_s}=jQ{\dot{U}}_s$$
我们发现在谐振时，电感上的电压大小是信号电压的 $Q$ 倍。

看看电容C的电压：$$\dot{U_C}=\frac{\frac{1}{j{\omega }_{0}C}}{R}\dot{U_s}=\frac{1}{j{\omega }_{0}CR}\dot{U_s}=-jQ\dot{U_s}$$

同样，我们也发现电容的电压大小也是信号源电压大小的 $Q$ 倍，并且和电感电压大小相等，方向相反，也就是它们相互抵消了。（这也是可以理解的，因为电感 $L$ 和电容 $C$ 都是储能元件，是不耗能的，因此最终电路消耗的能量都是电感线圈的损耗 $R$ 产生的）

另外一点，基于在谐振时，电容和电感上的电压远大于信号源电压，因此在把 L, C 接入电路时要特别注意元件的耐压问题！

1.2 谐振曲线的定义

我们先看看如何定义谐振曲线：电路中电流幅值和外加电压频率之间的关系曲线。

这里的幅值，我们用归一化实现，即 $\frac{\dot{I(\omega )}}{\dot{I({\omega }_0)}}$：$$\begin{array}{rl}\dot{N(\omega )}& =\frac{\dot{I(\omega )}}{\dot{I({\omega }_0)}}=\frac{\frac{\dot{U_s}}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}}{\frac{\dot{U_s}}{R}}\\ & =\frac{R}{R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}\\ & =\frac{1}{1+j\frac{{\omega }_{0}L}{R}(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}\\ & =\frac{1}{1+jQ(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })}\end{array}$$

我们通过化简发现，这是一个复数，那么我们可以把它表示成：$$\dot{N(\omega )}=N(\omega )e^{j\phi (\omega )}$$
其中，$N(\omega )$ 代表幅值，$\phi (\omega )$ 代表相位。那么，谐振曲线就可以分为幅频特性和相频特性两部分来讨论了！

1.2.1 幅频特性

通过上面的表达式我们可以知道，这个复数 $\dot{N(\omega )}=N(\omega )e^{j\phi (\omega )}$ 的幅值可以表示成：$$|N(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+Q^2(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }{)}^2}}$$

我们要注意到一个事情：就这这个幅频特性曲线的样子是由两部分决定的，一个是 Q （特别留意这个的Q 是回路的 Q ！） ；另一个是 $\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }$。我们先看看 $\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }$：它可以反应信号的失谐，**也就是信号频率和谐振频率的偏移程度，我们可以简单地用一个 $△\omega$ 表示。**如果 $△\omega$ 越大，那么表明偏离谐振频率越远，那么输出电流的幅度就会很小

第二个参数 Q ：我们知道它之前描述的电感的损耗，而在这里，Q 也可以表示回路对频率的选择性。在失谐一样的情况下，Q 值越大，那么相同失谐下电流幅度的衰减就越快，如下图：

刚刚我们定义的失谐：$\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }$，是狭义失谐量。下面看看广义失谐量：广义失谐量应该还得考虑上 Q 的影响：我们定义：$$\xi =\frac{(失谐电抗X)}{R}$$

因此，我们就可以表示：$$\xi =\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{1}{{\omega }_{0}CR}\frac{{\omega }_0}{\omega }=Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega })$$

在失谐不太大的情况下，（也就是说输入信号的 $\omega$ 近似等于 ${\omega }_0$ 时），我们把上面的式子化简一下，得到：$$\xi =Q\frac{{\omega }^2-{\omega }_0^2}{\omega {\omega }_0}=Q\frac{(\omega -{\omega }_0)(\omega +{\omega }_0)}{\omega {\omega }_0}$$
将 $\omega \approx {\omega }_0$ 带入，可以得到广义失谐的一个近似表达：$$\xi =Q\frac{(\omega -{\omega }_0)2{\omega }_0}{{\omega }_0{\omega }_0}=Q\frac{2△\omega }{{\omega }_0}=Q\frac{2△f}{f_0}$$

那么，我们的幅频特性就可以简洁地表示为：$$|N(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2}}$$

1.2.2 通频带

所谓通频带，也就是这个电路允许信号某一部分频率成分通过的范围。一般来说，我们规定，当信号的幅值是最大值的0.707倍时对应的频率，就是通频带的边界了。

那么，为了计算一个谐振电路的带宽，我们就要先算出这个边界频率的值：$$|N(\omega )|=\frac{I}{I_0}=\frac{1}{\sqrt{1+{\xi }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
也就是说，应有：$\xi =\pm 1$

而经过刚刚的分析，如果在失谐不大的情况下，有：$\xi \approx Q\frac{2△f}{f_0}$
所以，我们就得到：$△f=\pm \frac{f_0}{2Q}$，那么，整个电路的带宽就是：$B=2△f=\frac{f_0}{Q}$

下面，一个问题来了：我们说如果谐振电路的 Q 越大，那么经过刚刚的分析我们知道，电路的选择性越好，通频带越窄，二者矛盾。

Q越大选择性越好这没问题，通频带越窄也是直观看出来。但是为什么说二者矛盾呢？因为我们知道，任何信号都不可能只有单一的频率 $f_0$，都是包含一定的频率成分的，那么，既然我们想让这个信号通过电路，那么就一定会把它那些组成成分频率也包含进来。开始，如果通频带很窄，那么信号通过的时候就一定会造成失真。这不是我们想要的结果，因此我们说选择性强和通频带变窄是矛盾的！

1.2.3 相频特性

好了，刚刚看完了复数的幅值，现在我们来看看相位：根据复变函数的知识，我们知道相位的计算是：$$\Psi (\omega )=-arctan(Q(\frac{\omega }{{\omega }_0}-\frac{{\omega }_0}{\omega }))=-arctan(\xi )$$

如下图所示：

那么，我们接下来看看Q 值会对相频特性曲线造成什么样的影响：

我们看到：Q 值越大，相频特性曲线在谐振频率 ${\omega }_0$ 处的变化越激烈（越陡峭）。这是什么意思呢？也就是说系统的线性度变差了！我们突然想起来：一个系统要想信号无失真地通过，这个系统必然需要高一点的线性度。而我们发现：随着Q 的增大，电路的线性度减小，这就可能会造成信号的失真。 这和我们刚刚的讨论相互论证！

1.3 能量关系

我们知道：对于电容C而言：$$i_C=C\frac{d{u}_C}{dt}$$
对于电感而言：$$u_L=L\frac{d{i}_L}{dt}$$
那么，某一时刻电容的功率为：$$P_C=i_C{u}_C=i_{C}C\frac{d{u}_C}{dt}$$
电感的功率为：$$P_L=i_L{u}_L=i_{L}L\frac{d{i}_L}{dt}$$
如果电容和电感的初始能量为0，那么电容和电感的瞬时储能为：$$\begin{gathered} W_C={\int }_0^t{P}_{C}dt=\frac{1}{2}C{u}_C^2 \\ {W}_L={\int }_0^t{P}_{L}dt=\frac{1}{2}L{i}_L^2 \end{gathered}$$

如果我们设信号源为：$u=V_{SM}sin(\omega t)$，那么根据谐振时的特点，我们有：$$\begin{gathered} i_L=i_R=\frac{V_{SM}sin(\omega t)}{R} \\ {u}_C=-Qu=-Q{V}_{SM}sin(\omega t)=Q{V}_{SM}cos(\omega t) \end{gathered}$$

那么，$$\begin{gathered} W_C=\frac{1}{2}C{Q}^2{V}_{SM}^{2}co{s}^2(\omega t) \\ {W}_L=\frac{1}{2}{L}^2\frac{V_{SM}^{2}si{n}^2(\omega t)}{R^2}=\frac{1}{2}C{Q}^2{V}_{SM}^{2}si{n}^2(\omega t) \end{gathered}$$

因此，在每一个周期内，C和L产生的能量加和都是一个定值。是不变的！

1.4 电源内阻和负载的影响

我们想想，如果加上了电源内阻和负载电阻，无非就是在串联谐振电路里面多串联一个内阻 $R_s$，$R_L$ 罢了。

这对于电路的影响是什么呢？这势必会影响到品质因数 Q 。

我们先从品质因数的定义入手：品质因数 Q 是反应电路损耗的，如果电路中的电阻增大，势必损耗增大，那么电路的品质因数就会下降。选择性变差，通频带变宽。

下面定量分析：（注意：下面讨论的都是回路的品质因数，只有谐振时才会有！）
$$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R+R_s+R_L}=\frac{\frac{{\omega }_{0}L}{R}}{1+\frac{R_s}{R}+\frac{R_L}{R}}=\frac{Q}{1+\frac{R_s}{R}+\frac{R_L}{R}}$$