LMS自适应滤波器算法及其改进

本文档做备份用，分为ppt和讲稿。
——

PPT

标黄字部分在讲稿中提及。

要点

1.自适应滤波器原理
2.LMS自适应滤波算法及代码体现
3.变步长LMS算法

自适应滤波器原理

自适应滤波是由滤波算法通过调整滤波器系数实现的。

自适应滤波器分为两部分：滤波结构、自适应算法

自适应滤波器的自适应

LMS自适应算法

LMS算法基于根据最小均方误差准则调整权矢量实现滤波的维纳滤波器提出。
具体流程：

1. 确定参数
2. 滤波器初始值初始化

算法运算过程：

1. 滤波输出
2. 误差信号
3. 权矢量更新

滤波输出

本课程设计为FIR自适应滤波器。
设其单位脉冲响应为h(0),h(1)…h(N-1) ，那么它在时刻n 的输出：

在LMS滤波算法中，经变换可得：

代码体现：

权矢量更新

在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下
均方误差：

性能曲面
自适应过程就是调整权矢量，使均方误差达到最小值的过程。
最陡下降法求最低点
该方法每次迭代都需知道性能曲面某点梯度值，LMS算法能用平方误差代替均方误差的方法估计梯度。
梯度近似：

最抖下降法计算权矢量：

ms算法用前者取代后者：

代码体现：

基于最陡下降法的最小均方误差(LMS)算法的迭代公式为：

LMS自适应算法的改进

衡量自适应滤波算法优劣的三个指标：收敛速度、跟踪能力、收敛精度。
需要较大算法步长的情况；需要较小算法步长的情况
LMS算法使用固定步长因子，存在劣势
改进步长公式：

该公式基于sigmoid函数，该函数可以将变量映射到0，1之间
体现：当0<β<1/λmax，此时算法一定收敛

讲稿

自适应滤波器的自适应在于滤波系数随信号环境的改变而自动调节，经过一段时间自动达到最佳滤波要求。
便可写成如下的卷积形式
在LMS滤波算法中输出信号和期望信号应满足最小均方误差条件
LMS算法基于维纳滤波，而维纳滤波基于最小均方误差准则调整权矢量实现滤波。在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，均方误差是权矢量各分量的二次函数，均方误差的图形是L+2维空间中一个中间下凹的超抛物面有唯一最低点，该曲面称性能曲面。自适应过程就是调整权矢量，使均方误差达到最小值的过程。可借用最陡下降法沿性能曲面最陡方向搜索曲面最低点，由于该方法每次迭代都需知道性能曲面某点梯度值，由于上梯度值只能根据观测数据进行估计，而LMS算法能用平方误差代替均方误差的方法估计梯度。

LMS算法的改进：
在非平稳随机信号下，提高收敛速度和跟踪能力需要较大步长，提高收敛精度需要较小步长，传统LMS算法使用固定步长因子，存在缺陷。为此提出变步长的改进方法。
（指出公式）该公式由sigmoid函数演变而来（该函数可以将变量映射到0，1之间，函数体现为β，0<β<1/λmax（输入信号自相关矩阵的最大值），此时算法一定收敛）
α用来提高收敛速度，β用来确定步长最大值。e(n)-e(n-1)噪声信号有弱相关性（信号间的相似度），可以相互抑制。
最终结果：（公式）

在实际运用中需要通过大量仿真实验确定αβ最优值，基本原则：未误差信号大时，步长大；误差信号小时步长小。