R-2R”T“形电阻网络D/A转换公式推导

R-2R”T“形电阻网络D/A转换原理

D/A转换器的作用是将数字量转换为相应的模拟量，它的核心部件是电阻网络，R-2R”T“形电阻网络就是其中的一种形式。下面给出输入的数字量D与输出 Vout 关系的推导过程。

上图是R-2R”T“形电阻网络， D0 ， D1 ，…， Dn−1 表示输入的数字量D的n位， D0 是最低位。

①根据运算放大器电路的叠加原理，可以得到输出 Vout 与 V0 ， V1 ，…， Vn−1 的关系：

VoutRf=−(D0V02R+D1V12R+...Dn−1Vn−12R)

对上式进行化简可得：

Vout=−Rf2R∑i=0n−1DiVi......式（1）

② 根据 虚短的性质找到 V0 ， V1 ，…， Vn−1 与 Vref 的关系：
从 D0 处看，因为运放有虚短的性质，所以不管 D0 是0或1， V0 处的两个2R是并联关系，并联之后的电阻为R，由分压公式可得 V0=V12 始终成立。以此类推：

V1=V22

V2=V32

...

Vn−2=Vn−12=Vref2

根据以上规律可得：

V0=Vref2n−1

V1=Vref2n−2

...

Vn−1=Vref2

可以写出通式： Vi=Vref2n−1−i ，将此式代入式（1）得：

Vout=−Rf2R∑i=0n−1DiVref2n−1−i=−RfR.Vref.∑i=0n−1Di2n−i......式（2）

③由 二进制数与各位之间的关系有： D=D0+D1∗2+D2∗22+...+Dn−1∗2n−1 ，对此式两边通时除以 2n 得：

D2n=D02n+D12n−1+D22n−2+...+Dn−12

即：

D2n=∑i=0n−1Di2n−i......式（3）

④把式（3）代入式（2）即可得到 最终结论：

Vout=−D2n.RfR.Vref

式中，n为D/A转换器的位数；D为输入的数字量； Vref 为参考电压； Vout 为数字量D对应的输出电压。
如果取 Rf=R ，则得到：

Vout=−D2n.Vref

此时，若D/A转换器是8位的，则得到输入的数字量D与输出量 Vout 的关系：

Vout=−D256.Vref

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