matlab中求解特征值方程函数eig

1 使用背景

求解特征模理论的方程[X][I] = λ[R][I]

2 基本用法

标准特征值问题

e = eig(A) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 的特征值。

用法：
[V,D] = eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 AV = VD。

[V,D,W] = eig(A) 还返回满矩阵 W，其列是对应的左特征向量，使得 W’A = DW’。

特征值问题是用来确定方程 Av = λv 的解，其中，A 是 n×n 矩阵，v 是长度 n 的列向量，λ 是标量。满足方程的 λ 的值即特征值。满足方程的 v 的对应值即右特征向量。左特征向量 w 满足方程 w’A = λw’。

广义特征值问题

e = eig(A,B) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 和 B 的广义特征值。

用法：
[V,D] = eig(A,B) 返回广义特征值的对角矩阵 D 和满矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 AV = BV*D。

[V,D,W] = eig(A,B) 还返回满矩阵 W，其列是对应的左特征向量，使得 W’A = DW’*B。

广义特征值问题是用来确定方程 Av = λBv 的解，其中，A 和 B 是 n×n 矩阵，v 是长度 n 的列向量，λ 是标量。满足方程的 λ 的值即广义特征值。对应的 v 的值即广义右特征向量。左特征向量 w 满足方程 w’A = λw’B。

[___] = eig(A,B,algorithm)（其中，algorithm 为 ‘chol’）使用 B 的 Cholesky 分解计算广义特征值。algorithm 的默认值取决于 A 和 B 的属性，但通常是 ‘qz’，表示使用 QZ 算法。

如果 A 为 Hermitian 并且 B 为 Hermitian 正定矩阵，则 algorithm 的默认值为 ‘chol’。

求解方程的两种结果

X和R分别为阻抗矩阵Z的虚部和实部，Z为对称矩阵，R为半正定实对称矩阵，因此可以求R的逆，化为标准特征值方程来求。

C=R\X
[J1,D1] = eig(C)

也可以直接求解 XI = λRI
现在，将上述两个矩阵传递给 eig 函数，计算广义特征值和右特征向量。

[J2,D2] = eig(X,R)

4 直接求解广义特征值方程和求解标准特征值方程

D1	D2
-0.112028123237884	-0.112051670736131
-1.09629695880708	-1.09627494008058
1.18584101556162	1.18579830918063
-1.62271183493405	-1.62269239072422
-2.32579141998700	-2.32578653735657
-12.5587164543098	-12.5324805608695

得到的特征值是一样的，但是特征向量有差别是正常的，特征向量是一族向量，只是差了常数倍而已。