数列与通项

$$writebyLJX$$

转载请附上：https://www.luogu.org/blog/xiaopangfeiyu/shu-lie

目录

0. 目录

1. 引入

2. 第一种解法

   1.数学推导

   2.代码实现

3. 第二种解法

4. 小总结

5. 拓展内容

   1.函数化

   2.矩阵

   3.特殊的通项公式

6. 第二种解法的优化

7. 总结

---

引入

OI中很多题目同于数列有联系，数学中它也是十分关键的。

而数列中最重要的东西之一就是通项公式了。

那么我们是否能用程序算出一个数列的通项公式呢？

看完后你因该就知道了。

第一种解法

到底如何解决这个问题呢？

数学推导

这里插入一个定理：

凡是一个长度为n的数列，都可以用一个不超过n-1次的式子表示出来

什么意思？

就是例如

$ a= \begin{Bmatrix}1,2,4\end{Bmatrix}$

$a_1=1$

$a_2=2$

$a_3=4$

设$ f(x)=a_{x} $

$ f(x) $就是$a$的通项公式

定理的意思就是

$f(x)=t1\ast x^2+t2\ast x+t3$

根据这个神奇的定理我们就可以求解了

还是刚刚的例子：

我们得出$f(x)=t1\ast x^2+t2\ast x+t3$

所以

$f(1)=t1+t2+t3=1$

$f(2)=4\ast t1+2\ast t2+t3=2$

$f(3)=9\ast t1+3\ast t2+t3=4$

$
\begin{cases}
t1=\frac{1}{2}
\
t2=-\frac{1}{2}
\
t3=1
\end{cases}
$

就这样我们大致推出了解决思路：

• 先利用待定系数法列出式子

• 再将数值带进去列出方程

• 求解方程

代码实现

关于代码实现，我们就按上面的解决思路来

• 待定系数法求出式子：编程中不存在的
• 将数值带进去列出方程：带入过程就是将x的几次幂算出来
• 求解方程：很显然要使用高斯消元

代码部分：

#include 

using namespace std;

int main()
{
    //暂时没有代码
}

第二种解法

第二种方法和第一种有本质上的区别请做好准备。

依旧是刚才的例子

不用往上翻了，我帮你搬下来了

$ a= \begin{Bmatrix}1,2,4\end{Bmatrix}$

$a_1=1$

$a_2=2$

$a_3=4$

设$ f(x)=a_{x} $

现在我们要对他进行一顿操作

在f(x)中

当$x=1$时，$f(x)=1$

当$x=2$时，$f(x)=2$

当$x=3$时，$f(x)=4$

即

当$ x \neq 2,3$时，$f(x)=1$

当$ x \neq 1,3$时，$f(x)=2$

当$ x \neq 1,2$时，$f(x)=4$

不过这有什么用呢？

接下来这波操作绝对闪瞎你的狗眼眼睛

设$f(x)=t1+t2+t3$

其中

当$x=2,3$时,$t1=0$

当$x=1$时,$t1=1$

当$x=1,3$时,$t2=0$

当$x=2$时,$t2=2$

当$x=1,2$时,$t3=0$

当$x=3$时,$t3=4$

接下来我们只需分别求解即可

$\because$当$x=2,3$时,$t1=0$

$\therefore t1=(x-2)(x-3)* $一坨东东

原因很简单让式子中含$(x-2)$就是为了$x=2$时式子值为0

$\because$当$x=1$时,$t1=1$

$\therefore x=1$时 ,$t1=(x-2)(x-3)* $一坨东东$=1$

$\therefore $一坨东东$=\frac{1}{2}$

$\therefore t1=\frac{(x-2)(x-3)}{2}$

$\because$同理可得

$
\therefore\begin{cases}
t1=\frac{(x-2)(x-3)}{2}
\
t2=-2(x-1)(x-3)
\
t3=2(x-1)(x-2)
\end{cases}
$

$\therefore f(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3)+2(x-1)(x-2)$

$\therefore f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+1$

和刚刚得出的结果一样

就这样我们大致推出了解决思路：

• 口算出结果

额……

确实是的这种方法熟练后确实可以口算出结果

只不过没有化简

关于代码：

这种方法不适合写编程！

Q:这种方法为什么不适合编程?

A:因为都可以口算了，还编程干嘛。

Q:不是还有化简吗？

A:化简的复杂度太高了！

Q:比$O(N^3)$高吗？

A:$O(N\ast 2^N)$！

Q:额……

A:……

不过这种算法在后面有惊喜……

剧透一下：也许有解决办法

小总结

	程序	数学
第一种	时间复杂度较低	暴力解方程
第二种	巨大无比的暴力	口算出答案

拓展内容

关于通项他还有许多好玩的

函数化

其实你因该已经注意到了，上面的式子

$f(x)=t1\ast x^2+t2\ast x+t3$

其实和我们学的函数很像

$y=a{x}^2+bx+c$

对吧，所以上面那个定理可以变成

凡是坐标系上任意n个点，都可以在一个不超过n-1次的函数上

这个定理似乎学过吧！

矩阵

可能有人会想：数列有通项，矩阵和数列那么像因该也有吧！

例如矩阵：

y\x	1	2
1	1	2
2	2	4

可以表示成$xy$

因此我们猜想：凡是一个为nm的矩阵，都可以用一个不超过（n-1）（m-1）次的式子表示出来，且只有两个元，一个的最高此不超过n-1，另一个不超过m-1

并且如果通项公式是对称式，矩阵沿对角线对称，如上图。

求通项的办法仍然可以使用上述两种办法。

能想到这里，脑洞已经够大了，但看到上面 函数化。

是不是这个柿子式子也能函数化

先把四次式子写出来：

$f(x,y)=t1\ast x+t2+t3\ast y+t4\ast xy$

转化为

$z=a\ast xy+b\ast x+c\ast y+d$

哇！这是！什么东西？

喔对！这是三维函数

原来如此！

维度\性质	通项	函数
一维数列	一元	两元
二维矩阵	两元	三元
……	……	……

到此你的脑洞和想象已经到达最高点。

放张图片缓解一下心情

特殊的通项公式

我们先来解决一下上面的问题：

我们是否能用程序算出一个数列的通项公式呢？

奇怪了,上面不是给出两种方法了吗？

注意！上面给出的是给你一个长度为n的数列，让你求一个不超过n-1次的通项公式。

其实任意数列都有无穷多中通项公式！

也就是说找规律题目你写什么数都是对的

回到正题

找规律中，以前有这么一类题目：

$1,2,4,4,9,6,16,8,25,10,(?)$

方法就是奇偶拆开：

甲：$1,4,9,16,25$

乙：$2,4,6,8,10$

抛开之前说的通项公式求法

甲数列的通项公式最简单不过的就是：$x^2$

乙数列的通项公式最简单不过的就是：$2x$

那么合体的数列通项公式是什么？

答案是：

$\frac{[(-1{)}^x-1]}{-2}\ast x^2+\frac{[(-1{)}^x+1]}{2}\ast 2x$

这中合并方法利用了$(-1{)}^x$的特性：

$2|x$时，$(-1{)}^x=1$

$2|x+1$时，$(-1{)}^x=-1$

同时再结合第二种方法的思想即可

这种方法有归并的影子里面

第二种解法的优化

第二种方法是不是也能用归并实现，而不用打又长又恶心的代码？

确实可以，举个例子：

$1,2,4,8$

一次合并:

$\frac{(x-2)}{-1}+2(x-1),\frac{(x-4)}{-4}+8(x-3)$

拆开：

$x,\frac{31}{32}x-23$

这种用归并的方法写第二种方法代码技术含量提高了许多

不过时间复杂度仍然十分高

但是优化的方法却变得多了

举一个例子，上面的式子合并过后形式都为：

$\frac{(x-a)}{-b}+c(x-d)$

根据这个就可以很简单的拆开它

优化他的办法还有很多，接下来的就由你自己探索吧！

总结

关于求数列，矩阵，三维数据，……求通项公式

介绍了两种方法

一种数学上很暴力，程序用到高斯消元，很有技巧性

另一种数学上有技巧性，程序暴力，但可以用归并优化

并且每个通项公式对应一个函数，每个维度数据里的数字对应内个维度上的一个点

到此我们讲完了关于数列与通项的许多内容

也许哪一道关键的题目能够用上呢？

$$end$$