快速幂取模算法

在Miller Rabbin测试素数,就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c(这就是著名的RSA公钥的加密方法),当a,b很大时,直接求解这个问题不太可能 
算法1:利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理,这就解决了a^b可能太大存不下的问题,但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下:

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  1. int modexp_simple(int a,int b,int n)       
  2. {      
  3.     int ret = 1;  
  4.     while (b--)  
  5.     {  
  6.         ret = a * ret % n;  
  7.     }  
  8.     return ret;  
  9. }    
算法2:另一种算法利用了二分的思想,可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为:b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^(p(i) * 2^(i-1) ) =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简:a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2
(这里很重要!!具体请参阅秦九韶算法: http://baike.baidu.com/view/1431260.htm
利用这一点,我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论,我们加上取模运算:
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c

于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码:递归

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  1. //计算a^bmodn       
  2. int modexp_recursion(int a,int b,int n)       
  3. {      
  4.     int t = 1;  
  5.   
  6.     if (b == 0)  
  7.         return 1;  
  8.   
  9.     if (b == 1)  
  10.          return a%n;  
  11.   
  12.     t = modexp_recursion(a, b>>1, n);  
  13.   
  14.     t = t*t % n;  
  15.   
  16.     if (b&0x1)  
  17.     {      
  18.         t = t*a % n;  
  19.     }  
  20.   
  21.     return t;  
  22.  }   


实例代码2:非递归优化 

[cpp]  view plain  copy
  1. #include      
  2. using namespace std;     
  3.     
  4. //计算a^bmodn     
  5. int modexp(int a,int b,int n)     
  6. {     
  7.     int ret=1;     
  8.     int tmp=a;     
  9.     while(b)     
  10.     {     
  11.        //基数存在     
  12.        if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;     
  13.        tmp=tmp*tmp%n;     
  14.        b>>=1;     
  15.     }     
  16.     return ret;     
  17. }     
  18.     
  19. int main()     
  20. {     
  21.     cout<
  22.     return 0;     
  23. }    

 

原文:http://kmplayer.javaeye.com/blog/601578

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