单源负边最短路算法——Spfa

 

转自：https://blog.csdn.net/rentenglong2012/article/details/78483662

    求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。
    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：
    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 
    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

和广搜bfs的区别：
    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

Code:

#include
#include
using namespace std;
int n, m, st;
#define MM 500005
#define MN 10005
#define INF 99999999
#define IINF 2147483647
struct Edg{ int u, v, w, next; }edge[MM];
int head[MN];
int dis[MN];
queueq;
bool used[MN];
void Spfa()
{
	q.push(st);
	used[st] = true;
	for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
	dis[st] = 0;
	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front(); q.pop();
		used[u] = false;
		for (int i = head[u]; i > 0; i = edge[i].next)
		{
			int v = edge[i].v;
			int w = edge[i].w;
			if (dis[v] > dis[u] + w)
			{
				dis[v] = dis[u] + w;
				if (!used[v])
				{
					used[v] = true;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (dis[i] == INF) dis[i] = IINF;
		cout << dis[i] << " ";
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> m >> st;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		edge[i] = Edg{ u, v, w, head[u] };
		head[u] = i;
	}
	Spfa();
	return 0;
}