学习笔记：Gaussian distribution 高斯分布特殊性质及简单具体实现

高斯分布（正态分布）

高斯分布可以写成如下形式：
$${\rho }_s(x)=(\frac{1}{s})\ast e^{\frac{-\pi (x-u{)}^2}{s^2}}，s=\sqrt{2\pi }\ast \sigma$$

当u=0，s固定不变时，${\rho }_s(x)$只与x的值有关。

性质：

1.乘法概率分布（product distribution）

即多维的高斯分布可以写成一维高斯分布的乘积。
$${\rho }_s(x)={\rho }_s(x_1)\ast {\rho }_s(x_2)\ast ...\ast {\rho }_s(x_n)$$

n维高斯分布：
$${\rho }_s(x)=(\frac{1}{s}{)}^n\ast e^{\frac{-\pi ║x{║}^2}{s^2}}$$

2.球状对称（Spherically Symmetric）

一维的高斯分布是左右对称的，二维是中心对称的，三维是球状对称的。所以，对于n维的高斯分布，${\rho }_s(x)$值只与x到原点的距离有关，与如何选择坐标轴无关。

3.在线段上产生均匀分布的点（Generating Uniform Elements on Line Segment）

对于一维高斯分布来说，设一个正整数为M，当$s=5M$时， 高斯分布上的点模m(m

代码：

# encoding: utf-8
#本人不太会写模x的结果，所以比较简单地实现了一下
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func(x,s,m):
    y=[]
    for i in x:
        c=(np.exp(-(i) ** 2*np.pi) / (s ** 2) / (s))+(np.exp(-(i-m) ** 2*np.pi) / (s ** 2) / (s))
        for j in range(1,200):
            c+=(np.exp(-(i+j*m) ** 2*np.pi) / (s ** 2) / (s))
            c+=(np.exp(-(i-(j+1)*m) ** 2*np.pi) / (s ** 2) / (s))
        y.append(c)
    return y

m1=[0.7,0.9,1.0,1.2]

for m in m1:
    s=1
    x = np.linspace(0.1,m, 100)         
    y = func(x,s,m)
    if m == 0.7:
        plt.plot(x, y,'blue', linewidth=m,label='m=0.7,sig=1')
    if m == 0.9:
        plt.plot(x, y,'orange', linewidth=m,label='m=0.9,sig=1')
    if m == 1.0:
        plt.plot(x, y,'green', linewidth=m,label='m=1.0,sig=1')
    if m == 1.2:
        plt.plot(x, y,'red', linewidth=m,label='m=1.2,sig=1')
plt.legend()        
plt.grid(True) 
plt.show()  

实验结果：

结论：可知当m越来越小并接近于0.5时，线段越来越趋近于一条水平直线。对于模m的x来说，相当于每个元素的取值概率都相同，从而能在线段上产生均匀分布的点。

这个性质能扩展到n维高斯分布。

参考资料：https://www.ichunqiu.com/course/50441