Java实现蓝桥杯第六届2015年真题
蓝桥杯第六届2015年真题
- 三角形面积
- 立方变自身
- 三羊献瑞
- 循环节长度
- 九数组分数
- 加法变乘法
- 牌型种数
- 饮料换购
- 垒骰子
- 解法一、dfs暴力法
- 解法二、dp解法
- 解法三、矩阵快速幂
- 生命之树
| 题目 | 用到知识点/算法类型 |
|---|---|
| 三角形面积 | 水题 |
| 立方变自身 | 数学知识+枚举 |
| 三羊献瑞 | 数学知识+枚举 |
| 循环节长度 | dfs |
| 九数组分数 | 凑算式类dfs |
| 加法变乘法 | 数学知识+枚举 |
| 牌型种数 | 排列组合类dfs |
| 饮料换购 | 数学知识+递归 或直接枚举 |
| 垒骰子 | dfs暴力搜 优化用dp 再优化用矩阵乘法+快速幂 |
| 生命树 | 自定义数据结构+dfs+回溯 |
三角形面积
如【图1】所示。图中的所有小方格面积都是1。
那么，图中的三角形面积应该是多少呢？
请填写三角形的面积。不要填写任何多余内容或说明性文字。
初中数学题
答案：
28
立方变自身
题目描述
观察下面的现象,某个数字的立方，按位累加仍然等于自身。
1^3 = 1
8^3 = 512 5+1+2=8
17^3 = 4913 4+9+1+3=17
...
请你计算包括1,8,17在内，符合这个性质的正整数一共有多少个？
请填写该数字，不要填写任何多余的内容或说明性的文字。
答案：6
1 1
8 8
17 17
18 18
26 26
27 27
package 第六届;
public class t02_立方变自身 {
static int sum(int i) {
String s=String.valueOf(i);
int res=0;
//按位求和
for(int j=0;j<s.length();j++) {
res=res+(s.charAt(j)-'0');
}
//System.out.println("i="+i+" "+res);
return res;
}
public static void main(String[] args) {
//根据数学性质 符合这一性质的正整数不会超过99
int cnt=0;
for(int i=1;i<99;i++) {
int i1=i*i*i;
if(sum(i1)==i) {
cnt++;
System.out.println(i+" "+sum(i1));
}
}
System.out.println(cnt);
}
}
三羊献瑞
题目描述
观察下面的加法算式：
祥 瑞 生 辉
+ 三 羊 献 瑞
-------------------
三 羊 生 瑞 气
(如果有对齐问题，可以参看【图1.jpg】)
其中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
请你填写“三羊献瑞”所代表的4位数字（答案唯一），不要填写任何多余内容。
填空题 枚举暴力搜索解决
package 第六届;
public class t03_三羊献瑞 {
public static void main(String[] args) {
// d c e f
// 1 a b c
// 1 a e c g
//1 a
for(int a=0;a<=9;a++) {
if(a==1)continue;
for(int b=0;b<=9;b++) {
if(b==1)continue;
for(int c=0;c<=9;c++) {
if(c==1)continue;
for(int d=2;d<=9;d++) {
if(d==1)continue;
for(int e=0;e<=9;e++) {
if(e==1)continue;
for(int f=0;f<=9;f++) {
if(f==1)continue;
for(int g=0;g<=9;g++) {
if(g==1)continue;
if(a!=b&&a!=c&&a!=d&&a!=e&&a!=f&&a!=g
&&b!=c&&b!=d&&b!=e&&b!=f&&b!=g&&
c!=d&&c!=e&&c!=f&&c!=g&&
d!=e&&d!=f&&d!=g&&
e!=f&&e!=g
&&f!=g
) {
int x=1000+a*100+b*10+c;
int y=d*1000+c*100+e*10+f;
int z=10000+a*1000+e*100+c*10+g;
if(x+y==z) {
//System.out.println("1"+a+" "+b+" "+c);
System.out.println(x+" "+y+" "+z);
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
}
循环节长度
/*
两个整数做除法，有时会产生循环小数，其循环部分称为：循环节。
比如，11/13=6=>0.846153 846153..... 其循环节为[846153] 共有6位。
*/
package 第六届;
import java.util.Vector;
public class t04_循环节长度 {
public static int f(int n, int m)
{
n = n % m;
Vector v = new Vector();
//for()
for(;;)
{
v.add(n);
n *= 10;
n = n % m;
if(n==0) return 0;
//说明找到重复的
if(v.indexOf(n)>=0) return v.size() ; //填空
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(f(11,13));
}
}
九数组分数
1,2,3...9 这九个数字组成一个分数，其值恰好为1/3，如何组法？
思路：九位数字组成一个分数1/3 只能是分母5位，分子4位
答案：
5823 17469
5832 17496
package 凑算式类;
public class 九数组分数 {
//分子为四位数 分母为五位数
static int[] a=new int[9];
static boolean[] vis=new boolean[10];
static boolean f;
static void dfs(int index) {//表示试填第index位
// if(f) {
// return;
// }
//在这里输出结果否则存放在数组中的结果可能在return后被修改了
if(index == 9) { //凑到了最后一位
int s = (a[0]*1000+a[1]*100+a[2]*10+a[3]);
if(s*3 == a[4]*10000+a[5]*1000+a[6]*100+a[7]*10+a[8]) {//目标是要算式成立
System.out.println(s+" "+s*3);
// f=true;
}
return;
}
for(int i=1;i<=9;i++) {//枚举1-9填入index位
if(!vis[i]) {//该数字没有用过
//标记为用过
vis[i]=true;
a[index]=i;
//System.out.println(i+" "+index);
dfs(index+1);
vis[i]=false;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
dfs(0);
}
}
加法变乘法
/*
加法变乘法
我们都知道：1+2+3+ ... + 49 = 1225
现在要求你把其中两个不相邻的加号变成乘号，使得结果为2015
比如：
1+2+3+4+5+6...7+8+9+10*11+12+...+27*28+29+...46+47+48+49 = 2015
就是符合要求的答案。
请你寻找另外一个可能的答案，并把位置靠前的那个乘号左边的数字提交（对于示例，就是提交10）。
*/
package 第六届;
public class t06_加法变乘法 {
static int sum(int s,int t,int []nums) {
if(s<1||s>49||t>49) return 0;
int res=0;
for(int i=s;i<=t ;i++) {
res+=nums[i];
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
//0 1 49
int []nums=new int[50];
for(int i=1;i<=49;i++) {
nums[i]=i;
}
//第一个乘号最多只能到46后面
for(int i=1;i<=46;i++) {
//第二个乘号最多只能到48后面
for(int j=i+2;j<=48;j++) {
int s3=0,s4=0,s5=0;
int s1=nums[i]*nums[i+1];
if(i>1) {
s5=sum(1,i-1,nums);
}
if(i+2!=j) {
s3=sum(i+2,j-1,nums);
}
if(j+1>49) continue;
int s2=nums[j]*nums[j+1];
s4=sum(j+2,49,nums);
if(s1+s2+s3+s4+s5==2015) {
System.out.println(nums[i]);
System.out.println(nums[j]);
}
}
}
}
}
解法二、运用点数学方法巧算
package 第六届;
public class t06_加法变乘法2 {
public static void main(String[] args) {
//第一个乘号最多只能到46后面
for(int i=1;i<=46;i++) {
//第二个乘号最多只能到48后面
for(int j=i+2;j<=48;j++) {
//参与乘法运算的只有四项 分别为i i+1 和j j+1
//其余皆为加法 说明原式子与最终式子的差值是这四项造成的
if( i*(i+1)-(i+i+1)+j*(j+1)-(j+j+1)==2015-1225 ) {
System.out.println(i+" "+j );
}
}
}
}
}
牌型种数
小明被劫持到X赌城，被迫与其他3人玩牌。一副扑克牌（去掉大小王牌，共52张），
均匀发给4个人，每个人13张。这时，小明脑子里突然冒出一个问题：如果不考虑
花色，只考虑点数，也不考虑自己得到的牌的先后顺序，自己手里能拿到的初始牌
型组合一共有多少种呢？
思路
dfs
答案: 3598180
写法一：
package 排列组合;
//总共13种牌A到K，每种可以选0到4张，总共选出13张，两个13如果简单表示的话就是2 13
public class 牌型种数 {
public static int count = 0 ;
public static void dfs(int type, int sum) {
// 结束条件
if(type == 13) { //列举完牌数种类 A到K 13类
if(sum == 13) { //目标要凑够13张
count++;
}
return;
}
// 搜索
for(int i=0; i<=4; i++) {
dfs(type+1, sum+i); // 此解法的关键，就在于sum+i 而不是sum+1
}
}
public static void main(String[] args) {
dfs(0,0);
System.out.println(count);
}
}
写法二：
package 排列组合;
public class 牌型种数2 {
public static int count = 0 ;
public static int[] a = new int[13];
public static void dfs(int index) {
if(index == 13) {
int sum = 0;
for(int i : a) {
sum += i;
}
if(sum == 13) {//牌总数达到13张
count++;
}
return;
}
// 搜索
for(int i=0; i<=4; i++) {
a[index] = i;//i个index类的牌
dfs(index+1);
}
}
public static void main(String[] args) {
dfs(0);
System.out.println(count);
}
}
饮料换购
饮料换购
乐羊羊饮料厂正在举办一次促销优惠活动。乐羊羊C型饮料，凭3个瓶盖可以再换一瓶C型饮料，并且可以一直循环下去，但不允许赊账。
请你计算一下，如果小明不浪费瓶盖，尽量地参加活动，那么，对于他初始买入的n瓶饮料，最后他一共能得到多少瓶饮料。
输入：一个整数n，表示开始购买的饮料数量（0<n<10000）
输出：一个整数，表示实际得到的饮料数
例如：
用户输入：
100
程序应该输出：
149
用户输入：
101
程序应该输出：
151
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms
package 第六届;
import java.util.Scanner;
public class t08_饮料换购 {
static int ans;
//
static void dfs(int n,int sum) {
//但最后一次换购要注意
if(n<3) {
System.out.println(ans+sum);
System.exit(0);
}
//3个瓶盖可以再换一瓶 等价为每两瓶换得一瓶
dfs(n-2,sum+1);
}
public static void main(String[] args) {
//原先有n瓶饮料 兑换得到的饮料数
Scanner reader=new Scanner(System.in);
int n=reader.nextInt();
ans=n;
dfs(n,0);
}
}
package 第六届;
import java.util.Scanner;
public class t08_饮料换购2 {
public static void main(String[] args) {
//原先有n瓶饮料 即有n个瓶盖
Scanner reader=new Scanner(System.in);
int n=reader.nextInt();
int ans=0;
while(n>2) {
ans+=3;
//每两个瓶盖换一瓶
n-=2;
}
ans=ans+n;
System.out.println(ans);
}
}
垒骰子
解法一、dfs暴力法
题目描述
垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，
要垒成方柱体。经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘；有些数字的面贴着
会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。 atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦～
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 不能紧贴在一起。
「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。
「样例输入」
2 1
1 2
「样例输出」
544
这种暴力法只能提交到oj上只能通过30%的数据
package 第六届;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
public class 垒骰子 {
static final long mod=1000000000+7;
static int [][]a;
static int atm[];
//骰子对面 1-4 2-5 3-6
static int duimian[]= {0,4,5,6,1,2,3};
static int n;
static long ans;
static ArrayList []huchi;
static long mypow(int x,int y) {
long res=1;
for(int i=1;i<=y;i++) {
res*=x;
}
return res;
}
static void dfs(int r) {
if(r==n) {
ans++;
return;
}
for(int i=1;i<=6;i++) {
if(r>=1) {
if(!huchi[ atm[r-1] ].contains(i)) {
atm[r]=i;
dfs(r+1);
}
}
else {
atm[r]=i;
dfs(r+1);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner reader=new Scanner(System.in);
//n个骰子
n=reader.nextInt();
//m组互斥对
int m=reader.nextInt();
a=new int[m][2];
atm=new int[n];
huchi=new ArrayList[7];
for(int i=1;i<=6;i++) {
huchi[i]=new ArrayList();
}
//1 2 5
//2 1 4
//4*4
/*用链表记录互斥对数字
* 1-4 2-5 3-6
*/
for(int i=0;i<m;i++) {
int x=reader.nextInt();
int y=reader.nextInt();
huchi[x].add(duimian[y]);
huchi[y].add(duimian[x]);
}
dfs(0);
//因为每个骰子四个面对应四种不同结果，所以还要乘上4^n
//原题目：两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
ans=( mypow(4,n)*ans)%mod;
System.out.println(ans);
}
}
解法二、dp解法
提交到oj上也只能过70%的数据
package 第六届;
import java.util.Scanner;
public class 垒骰子_动态规划 {
static final int mod=1000000000+7;
static long mypow(int x,int y) {
long res=1;
for(int i=1;i<=y;i++) {
res*=x;
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner reader=new Scanner(System.in);
//n个骰子
int n=reader.nextInt();
int m=reader.nextInt();
//对立面
int [] op=new int[] {0,4,5,6,1,2,3};
//m组互斥对
boolean [][] confilct=new boolean[7][7];
for(int i=0;i<m;i++) {
int x=reader.nextInt();
int y=reader.nextInt();
confilct[x][y]=true;
confilct[y][x]=true;
}
//dp[i][j] 表示第i层 该层朝上数字为j时的可行方案数
//由图中的递推式可知本层方案数目只与上一层有关 故可以用两行的动态数组保存方案数
int [][] dp=new int[2][7];
for(int i=1;i<=6;i++) {
dp[0][i]=1;
}
//迭代的层数
for(int i=1;i<n;i++) {
//面朝上的数字
for(int j=1;j<=6;j++) {
for(int x=1;x<=6;x++) {
if(confilct[j][ op[x] ]) continue;
dp[ i%2 ][j]=(dp[ i%2 ][j]+dp[(i-1)%2 ][x]);
}
}
}
long ans=0;
for(int i=1;i<=6;i++) {
ans+=dp[(n-1)%2][i];
}
ans=mypow(4,n)*ans%mod;
System.out.println(ans);
}
}
解法三、矩阵快速幂
提交到oj上 终于可以全部通过了 关于矩阵的乘法运算和快速幂可以参考我的文章
package 第六届;
import java.util.Scanner;
public class 垒骰子_矩阵乘法 {
static int [] op=new int[7];
static int n,m;
private static final long mod=1000000000+7;
static void init() {
op[1]=4;
op[2]=5;
op[3]=6;
op[4]=1;
op[5]=2;
op[6]=3;
}
public static void main(String[] args) {
init();
Scanner reader=new Scanner(System.in);
n=reader.nextInt();
m=reader.nextInt();
long conflict[][]=new long[6][6];
for(int i=0;i<6;i++) {
for (int j = 0; j < 6; j++) {
conflict[i][j]=1;
}
}
//建立冲突矩阵
for(int i=0;i<m;i++) {
int x=reader.nextInt();
int y=reader.nextInt();
conflict[ op[x]-1 ][y-1]=0;
conflict[ op[y]-1 ][x-1]=0;
}
//求冲突矩阵的n-1次方
long [][] mPow_n_1=mPow(conflict,n-1);
//累加mPow_n_1矩阵
long ans=0;
for(int i=0;i<6;i++) {
for (int j = 0; j < 6; j++) {
ans= ( ans+mPow_n_1[i][j] )%mod;
}
}
System.out.println(ans*quick_Pow(4,n)%mod);
}
//求i的n次方快速幂
private static long quick_Pow(long i, int n) {
long ret=1;
while(n!=0) {
if( (n&1)==1) {
ret=(ret*i)%mod;
}
i=(i*i)%mod;
n>>=1;
}
return ret;
}
/*
* 矩阵的快速幂
*/
private static long[][] mPow(long[][] conflict, int n) {
long [][] ans=new long[6][6];
//单位矩阵：对角线为1 其余皆为0
for(int i=0;i<6;i++) {
for(int j=0;j<6;j++) {
if(i==j) {
ans[i][j]=1;
}else {
ans[i][j]=0;
}
}
}
while(n!=0) {
if((n&1)==1) {//该位上为1 ans矩阵与conflict矩阵相乘
ans=mMul(ans,conflict);
}
conflict=mMul(conflict,conflict);
//n右移一位 除以2
n>>=1;
}
return ans;
}
//矩阵乘法
private static long[][] mMul(long[][] a, long[][] b) {
long [][] ans=new long[6][6];
for(int i=0;i<6;i++) {
for (int j = 0; j < 6; j++) {
for (int k = 0; k < 6; k++) {
ans[i][j]=( ans[i][j]+a[i][k]*b[k][j] )%mod;
}
}
}
return ans;
}
}
关于矩阵的幂运算和乘法，参见我博客快速幂和矩阵乘法
生命之树
生命之树这道题是参考了南墙的代码的
我之前做这种图的都是将顶点邻接关系存储在邻接矩阵中的，
之前在蓝桥杯大臣的旅费这道题中有用过自定义图结构，这道题也类似。我对dfs并不陌生不过，倒是没有想到用回溯来统计每个结点的最大和谐值，通常是回溯后取消标记。
生命之树
在X森林里，上帝创建了生命之树。
他给每棵树的每个节点（叶子也称为一个节点）上，都标了一个整数，
代表这个点的和谐值。上帝要在这棵树内选出一个非空节点集S，
使得对于S中的任意两个点a,b，都存在一个点列 {a, v1, v2, ..., vk, b}
使得这个点列中的每个点都是S里面的元素，且序列中相邻两个点间有一条边相连。
在这个前提下，上帝要使得S中的点所对应的整数的和尽量大。
这个最大的和就是上帝给生命之树的评分。
经过atm的努力，他已经知道了上帝给每棵树上每个节点上的整数。
但是由于 atm 不擅长计算，他不知道怎样有效的求评分。
他需要你为他写一个程序来计算一棵树的分数。
「输入格式」
第一行一个整数 n 表示这棵树有 n 个节点。
第二行 n 个整数，依次表示每个节点的评分。
接下来 n-1 行，每行 2 个整数 u, v，表示存在一条 u 到 v 的边。
由于这是一棵树，所以是不存在环的。
「输出格式」
输出一行一个数，表示上帝给这棵树的分数。
「样例输入」
5
1 -2 -3 4 5
4 2
3 1
1 2
2 5
「样例输出」
8
「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 10
对于 100% 的数据，0 < n <= 10^5, 每个节点的评分的绝对值不超过 10^6 。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 3000ms
package 第六届;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;
public class 生命树_网友版 {
static int[] nodeValue;//存放各个点的和谐值
static List<Integer>[] point;//存放各个点的包含的邻接边
static int[] value;//存放以某个点为根节点情况下的最大和谐值和
static int ans=0;//记录最大结果
static void dfs(int son,int father) {
value[son]=nodeValue[son];//以son为根节点，一开始时其最大和谐值为它本身
for(int i=0;i<point[son].size();i++) {//枚举与son相连的结点
int next=point[son].get(i);
//当枚举的下一个结点是son先前经过的点father 跳过 防止绕圈
if(next==father)continue;//如果都continue掉说明这个点是叶子结点
dfs(next,son);
//回溯（子节点平行状态都走完没得走了或者说状态没得转移了才会回溯）得到父节点与子节点和
if(value[next]>0)//子节点的和谐值
value[son]+=value[next];
ans=Math.max(ans, value[son]);
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner reader=new Scanner(System.in);
int n=reader.nextInt();
nodeValue=new int [n+1];
value=new int[n+1];
point=new LinkedList[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) {
nodeValue[i]=reader.nextInt();
point[i]=new LinkedList();
}
for(int i=1;i<n;i++) {
int x=reader.nextInt();
int y=reader.nextInt();
point[x].add(y);
point[y].add(x);
}
dfs(1,-1);//从0号结点开始搜索 假设它的父节点为-1可以为其他的无关量
System.err.println(ans);
}
}