落谷 P3327 [SDOI2015]约数个数和 （莫比乌斯反演+分块）*

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3327题目描述

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 ∑i=1N∑j=1Md(ij)\sum^N_{i=1}\sumM_{j=1}d(ij)∑i=1N​∑j=1M​d(ij)
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输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。接下来的T行，每行两个整数N、M。
输出格式

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。
输入输出样例
输入 #1

2
7 4
5 6

输出 #1

110
121

说明/提示

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

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分析：

$$求\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{M}d(ij)$$
对于d函数有个性质，在最上面题目链接页面中的解题报告中有它的证明，不过能力不够，不太理解，先记着吧
$$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)=1]$$
注：[gcd(x,y)=1]表示gcd(x,y)等于1时值为1，其余情况为0
那么所求为
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M\sum _{x|i}\sum _{y|j}[gcd(x,y)=1]$$
上式中，假如以x,y为自变量，i和j满足分别是x,y的倍数，对应的个数分别为$\frac{N}{x},\frac{M}{y}$(注：像这种除法的，若没有特别说明，都表示向下取整)，由此改变枚举顺序得
$$\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^M[gcd(x,y)=1]\cdot \frac{N}{x}\cdot \frac{M}{y}$$
定义f(n)函数，和g(n)函数：
$$\begin{gathered} f(n):=\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^M[gcd(x,y)=n]\cdot \frac{N}{x}\cdot \frac{M}{y} \\ g(n):=\sum _{n|d}f(d) \\ =\sum _{x=1}^N\sum _{y=1}^M[n|gcd(x,y)]\cdot \frac{N}{x}\cdot \frac{M}{y} \end{gathered}$$

题目所求为$f(1)$
对g(n)进一步化简，由于$n|gcd(x,y)$,所以令$x=a\cdot n,y=b\cdot n$,代入得
$$\begin{gathered} g(n)=\sum _{a\cdot n=1}^N\sum _{b\cdot n=1}^M[n|gcd(a\cdot n,b\cdot n)]\cdot \frac{N}{a\cdot n}\cdot \frac{M}{b\cdot n} \\ =\sum _{a=1}^{\frac{N}{n}}\sum _{b=1}^{\frac{M}{n}}[1|gcd(a,b)]\cdot \frac{N}{a\cdot n}\cdot \frac{M}{b\cdot n} \\ =\sum _{a=1}^{\frac{N}{n}}\sum _{b=1}^{\frac{M}{n}}\frac{N}{a\cdot n}\cdot \frac{M}{b\cdot n} \end{gathered}$$
反演得：
$$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)$$
$n=1$代入得
$$\begin{gathered} f(1)=\sum _{1|d}\mu (d)g(d) \\ =\sum _{d=1}^{min(N,M)}\mu (d)g(d) \\ =\sum _{d=1}^{min(N,M)}\mu (d)g(d) \end{gathered}$$
定义s(n)函数
$$s(n):=\sum _{i=1}^n\frac{n}{i}$$
则有
$$\begin{gathered} g(n)=\sum _{a=1}^{\frac{N}{n}}\sum _{b=1}^{\frac{M}{n}}\frac{N}{a\cdot n}\cdot \frac{M}{b\cdot n} \\ =\sum _{a=1}^{\frac{N}{n}}\frac{N}{a\cdot n}\sum _{b=1}^{\frac{M}{n}}\frac{M}{b\cdot n} \end{gathered}$$
由于a,b间没有关联，故

$$g(n)=s(\frac{N}{n})\cdot s(\frac{M}{n})$$
所以
$$f(1)=\sum _{d=1}^{min(N,M)}\mu (d)g(d)=\sum _{d=1}^{min(N,M)}\mu (d)\cdot s(\frac{N}{d})\cdot s(\frac{M}{d})$$
对于s函数，分块求，得预处理，否则会超时。对于μ，预处理求前缀和，求μ*s*s的时候也得分块求

代码：

#include 

using namespace std;
const int N=5e4+5;
#define ll long long 

int prime[N+1];
int mob[N+1];
ll sum[N+1];
ll s[N+1];

void Mobius()
{
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	mob[1]=1;
	sum[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!prime[i])
		{
			prime[++prime[0]]=i;
			mob[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=prime[0] && i*prime[j]<=N;j++)
		{
			prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				mob[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mob[i*prime[j]]=-mob[i];
		}
		sum[i]=sum[i-1]+mob[i];
	}
}

void get_s()
{
	/* ll ans=0;
	for(int l=1, r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans += 1LL*(r-l+1)*(n/l);
	}
	return ans; */
	for(int x=1;x<=N;x++)
	{
		s[x]=0;
		for(int l=1,r; l<=x;l=r+1)
		{
			r=x/(x/l);
			s[x] += 1LL*(r-l+1)*(x/l);
		}
	}
	
}

ll solve(int n,int m)
{
	ll ans=0;
	int lim=min(n,m);
	for(int l=1,r ; l<=lim; l=r+1)
	{
		r=min( n/(n/l),m/(m/l) );
		ans += 1LL*(sum[r]-sum[l-1])*s[n/l]*s[m/l];
	}
	return ans;
}


int main()
{
	Mobius();
	get_s();
	int T, n, m;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%lld\n",solve(n,m));
		
	}
	return 0;
}

参考资料：

• siyuan的博文
• oi wiki 莫比乌斯反演