题解 PTA数据结构习题集 01复杂度1、2 最大子列和问题的多解法与延申问题Maximum Subsequence Sum

题目：

输入：

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出：

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例：

20

题目分析：

解法一：枚举；

枚举全部的子序列和，找出其中最大值；采用三重for循环，第一重循环确定子序列起点，第二重循环确定子序列终点，第三重循环计算子序列和。
复杂度O(n^3)
提交结果：

解法二：枚举；

解法一的改进版，采用二重循环枚举全部子序列和，在确定起点与终点的同时计算子序列和；
复杂度O(n^2)
提交结果：

解法三：分而治之；

将当前序列分为两部分：左半区间，右半区间；
继而，左半区间有左半区间的最大子序列和，右半区间有右半区间的最大子序列和；
定义跨越左右两区间的最大子序列和为：
从当前序列中点向左不断延申得到的最大子序列和 与 从当前序列中点向右不断延申得到的最大子序列和 的两者之和；
即：

int res_mid=0;
int temp_left=a[mid],temp_right=a[mid+1],nowleft=a[mid],nowright=a[mid+1];
for(int i=mid-1;i>=left;i--)//从当前序列中点向左延申得到的最大子序列和
{
 	 nowleft+=a[i];
 	 temp_left=max(temp_left,nowleft);
}
for(int i=mid+2;i<=right;i++)//从当前序列中点向右延申得到的最大子序列和
{
 	 nowright+=a[i];
 	 temp_right=max(temp_right,nowright);
}
res_mid=(temp_left+temp_right);//两者之和

则当前序列的最大子序列肯定为 max(左半部分的最大子序列，右半部分的最大子序列，跨越左右两部分的最大子序列)；而左半部分的最大子序列肯定为max(左半部分的左半部分的最大子序列，左半部分的右半部分的最大子序列，跨越左半部分左右两部分的最大子序列)；以此类推，分到最小单元，则最小单元的最大子序列和即为该单元的值：

if(left==right) return a[left];

“分” 完了，就轮到 “治” 了：
从最小单元向上依次回溯，得到每个单元的最大子序列和在得到更上一级的单元的最大子序列和最终得到完整的序列的最大子序列和。
复杂度O(nlogn)
提交结果：

解法四：动态处理；

在计算一个子序列和时，如果当前序列和+a[i] 复杂度O(n)
提交结果：

代码：

解法一：

#include
#include
using namespace std;

int n,answer;
int a[100005];

int main()
{
	 scanf("%d",&n);
	 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 for(int i1=0;i1<n;i1++)
	 	 for(int i2=i1;i2<n;i2++)
	 	 {
	 	 	 int temp=0;
	 	 	 for(int i3=i1;i3<=i2;i3++)
	 	 	 	 temp+=a[i3];
	 	 	 answer=max(temp,answer);
		 }
	 printf("%d",answer);
	 return 0;
}

解法二：

#include
#include
using namespace std;

int n,answer;
int a[100005];

int main()
{
	 scanf("%d",&n);
	 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 for(int i1=0;i1<n;i1++)
	 {
	 	 int temp=0;
	 	 for(int i2=i1;i2<n;i2++)
	 	 {
	 	 	 temp+=a[i2];
	 	 	 answer=max(temp,answer);
		 }
	 }
	 printf("%d",answer);
	 return 0;
}

解法三：

#include
#define Inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int a[100005],n;

int max3(int x,int y,int z);
long long Divide_Conquer(int left,int right);//分别计算左、右区间最大值与跨越左右区间的子序列的最大值 

int main()
{
	 scanf("%d",&n);
	 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 long long answer=Divide_Conquer(0,n-1);
	 printf("%lld\n",answer);
}

long long Divide_Conquer(int left,int right)
{
	 if(left==right) return a[left];//分到最小单元返回 
	 int mid=(left+right)/2,res_mid=0;//中点
	 //计算左边最大值 
	 int res_left=Divide_Conquer(left,mid);
	 //计算右边最大值 
	 int res_right=Divide_Conquer(mid+1,right);
	 //分别代表从中点向左右两端延申的子序列和最大值
	 int temp_left=a[mid],temp_right=a[mid+1],nowleft=a[mid],nowright=a[mid+1];
	 for(int i=mid-1;i>=left;i--)//左 
	 {
	 	 nowleft+=a[i];
	 	 temp_left=max(temp_left,nowleft);
	 }
	 for(int i=mid+2;i<=right;i++)//右
	 {
	 	 nowright+=a[i];
	 	 temp_right=max(temp_right,nowright);
	 }
	 res_mid=temp_left+temp_right;//跨越左右两区间的子序列和最大值
	 return max3(res_left,res_mid,res_right);//返回三者中的最大值
}

int max3(int x,int y,int z){ return max(max(x,y),z); }

解法四：

#include
using namespace std;

int n,a[100005],nowsum,maxsum;

int main()
{
	 scanf("%d",&n);
	 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 nowsum=a[0];maxsum=a[0];
	 for(int i=1;i<n;i++)
	 {
	 	 if(nowsum+a[i]<a[i]) nowsum=a[i];
	 	 else nowsum+=a[i];
	 	 maxsum=max(maxsum,nowsum);
	 }
	 printf("%d",maxsum);
	 return 0;
}

Maximum Subsequence Sum：

在求最大子序列和的基础上要求同时输出左右端点值：
我们仍使用最快捷的动态处理解决此题，定义两个标记：left与right，只需要在最大子序列和更新时同时更新left和right即可；
提交结果：

代码：

#include
using namespace std;

int n,a[100005],nowsum,maxsum,left=0,right=0,resl,resr;

int main()
{
	 scanf("%d",&n);
	 for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	 nowsum=a[0];maxsum=a[0];
	 resl=0;resr=0;
	 for(int i=1;i<n;i++)
	 {
	 	 if(nowsum+a[i]<a[i]){
	 	 	 nowsum=a[i];
	 	 	 left=i;
	 	 	 right=i;
		 }
	 	 else{
	 	 	 nowsum+=a[i];
	 	 	 right++;
		 }
	 	 //maxsum=max(maxsum,nowsum);
	 	 if(nowsum>maxsum){
	 	 	 resl=left;
	 	 	 resr=right;
	 	 	 maxsum=nowsum;
		 }
	 }
	 if(maxsum<0) printf("0 %d %d",a[0],a[n-1]);
	 else printf("%d %d %d",maxsum,a[resl],a[resr]);
	 //若让输出整个最大子序列和 的序列，依据resl和resr的标记依次输出即可(如下)
	 //for(int i=resl;i<=resr;i++) printf("%d ",a[i]);
	 return 0;
}

更新于2020.7.11