数学建模常用Matlab/Lingo/c代码总结系列——参数估计

Matlab中用fminsearch实现参数估计

文章的主要思想来源于Matlab|Simulink仿真世界的一篇类似的文章。我这里把这个思想引入到我们的体系来，并以一个新的例子讲解这一用法。

fminsearch用来求解多维无约束的非线性优化问题，它的基本形式是：

[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = FMINSEARCH(FUN,X0,OPTIONS).

大段的Matlab帮助文档我就不翻译解释了，有兴趣的朋友可以参见Matlab联机帮助，我这里只介绍他在参数估计中的作用。

在 参数估计中经常用到正态分布的参数估计。在matlab系统中有一个函数叫做normfit就直接可以完成这样的参数估计，返回均值mu和均方差 sigma的估计，但是这里有一个要求，就是它的输入信息必须是随机的数字序列。如得到1000个服从正态分布的随机数向量R，用命令[phat pci]=normfit(R)，就可以得到参数估计了。然而如果我我们得知某些已经处于pdf函数曲线上的点时，这时需要对函数进行拟合运算。

估计参数的原理是从已知的一序列数据中，对于给定的任何一组参数，计算用其估计数据得到的方差，然后利用fminsearch函数求当方差满足最小的时候的参数，这就是需要估计的参数。

来看一下下面的列子：

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smu=10,ssig=25; %假设原来均值方差分别为：10，25 R=randn(1000,1)*ssig+smu; %生成满足要求的1000个随机数 [y x]=myhist(R); %生成统计信息，x，y分别表示分组中值序列和落入该组的统计数目 bar(x,y) %绘制直方图 hold on plot(x,y,'ro') %绘制对应点 [pms mse]=normpdffit(x,y,8,20); %根据得到的统计信息x,y对其进行参数估计，8，20分别代表均值和方差的初值 t=min(x):(max(x)-min(x))/200:max(x); %定义绘图区间 ny=normpdf(t,smu,ssig); %真实分布曲线数据 nyf=normpdf(t,pms(1),pms(2)); %拟合分布曲线数据 plot(t,ny,'r-') plot(t,nyf,'b-.') legend('hist','hist value','ture pdf','fit pdf') %绘制两条曲线作对比

上面例子中所用的几个函数定义如下：

function [h xout]=myhist(data,nbins) %用于统计信息，生成和pdf函数值相同的hist统计方式。 if nargin==1 nbins=uint32(1+log(length(data))/log(2)); end nbins=double(nbins); data=data(:); [h xout]=hist(data,nbins); ew=xout(2)-xout(1); h=h./(ew*length(data)); function [pab mse]= normpdffit(x,y,a0,b0) %正态分布pdf参数估计 p=[a0 b0]; opt=optimset('fminsearch'); opt.TolX=0.001; opt.Display='off'; [pab mse]=fminsearch(@normpdfse,p,opt,x,y); %这里需要注意，opt参数已经传递给fminsearch，但是对于原计算方差的函数来说，还需要两个参数x,y,这两个参数就写在opt参数的后面，这样可以完成其他参数的传递。 %这里说下以前探索的时候的失败经验：用global把参数公有化，然后函数只传递变化的参数（需要估计的参数），但是失败了。所以了解这种参数传递方法是非常有必要的。 function se= normpdfse(pab,X,Y) %计算对于任何一组参数pab(1)，pab(2)，给出当前数据下的方差来。 se=var(Y-normpdf(X,pab(1),pab(2)));

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运行结果如图所示：

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从图中可以看出，随机数在这里变成了统计信息，统计信息反映到了绘制的点信息上，图中圆圈所示。真实的pdf为红色曲线，估计的曲线为蓝色虚线。从图中可知，估计的效果非常满意。

如果在函数中加上：

disp 'the result of normfit function:' [mu sg]=normfit(R) disp 'the result of fminsearch:' [pms mse]=normpdffit(x,y,8,20)

得到结果：

the result of normfit function: mu = 10.44306258428258 sg= 25.61945417031251 the result of fminsearch: pms = 10.30663244862284 25.32479396733891 mse = 7.093014695522283e-008

与真实值相比，我们这里的拟合结果将比直接用normfit的结果更接近真实值。

可 以这么解释：normfit函数是内部通用的拟合函数，适合范围广，而没有任何先验信息加入，而对于我们的fminsearch函数来说，它需要一个先验信息，即参数的初值。我们在调用的时候用了初值8，20.这个先验信息对更进一步的拟合最后的结果有着相当重要的作用！因此，对于参数估计，先验信息还是相当重要的。

由于有这种技巧存在，了解了fminsearch函数之后，可以有很多的扩展应用。