内置式永磁同步电机IPMSM数学模型

1、永磁同步电机简介

三相永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)按照转子结构的不同可分为:

  • 表贴式永磁同步电机(Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, SPMSM)
  • 内置式永磁同步电机(Inner-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, IPMSM)

其结构图如图1所示。
内置式永磁同步电机IPMSM数学模型_第1张图片

图1 永磁同步电机的转子结构简图
SPMSM和IPMSM在物理特性上分别有如下特点:

(1)表贴式永磁同步电机:

  • 永磁体呈瓦片状贴附在转子的外表面
  • 气隙均匀,气隙的磁密波形趋近于正弦波
  • 永磁材料的磁导率接近于空气磁导率1
  • 转子磁路对称,轴电感相等

(2)内置式永磁同步电机:

  • 永磁体位于转子内部
  • 气隙不均匀
  • 磁极直轴磁阻小
  • 相邻的极间交轴磁阻大,使得转子磁路不对称,可以利用其产生较大的同步转矩
  • 轴电感不相同,电磁性能表现为凸极性

2 内置式PMSM的坐标变换原理及其数学模型

PMSM数学模型包括a-b-c三相坐标系、α-β两相静止坐标系和d-q两相同步旋转坐标系下三种数学模型,本文所研究的IPMSM具有a、b、c三相对称绕组,为了简化分析其数学模型,需假设IPMSM为理想电机,满足以下条件:

  • 忽略电机的涡流和磁滞损耗;
  • 忽略电机定、转子的铁芯饱和效应;
  • 电机稳定运行时,三相绕组的电流波形为标准的正弦波;
  • 永磁材料电导率为0,其内部磁导率假定与空气磁导率相同。

基于以上假设对三种坐标系分别作了坐标变换和数学模型的研究。

(1) a-b-c三相坐标系

在a-b-c三相坐标系下,IPMSM的电压方程可表示为
[ u a u b u c ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i a i b i c ] + [ ψ a ψ b ψ c ] (1) \left[ \begin{matrix} {{u}_{a}} \\ {{u}_{b}} \\ {{u}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]\tag{1} uaubuc=Rs000Rs000Rsiaibic+ψaψbψc(1)

式中: u a {{u}_{a}} ua u b {{u}_{b}} ub u c {{u}_{c}} uc为定子三相电压,V; i a {{i}_{a}} ia i b {{i}_{b}} ib i c {{i}_{c}} ic为定子三相电流,A; R s {{R}_{s}} Rs为定子电阻,Ω; ψ a {{\psi }_{a}} ψa ψ b {{\psi }_{b}} ψb ψ c {{\psi }_{c}} ψc分别为a、b、c三相绕组的磁链,Wb。

式中三相绕组的磁链方程可表示为
[ ψ a ψ b ψ c ] = [ L a M a b M a c M b a L b M b c M c a M c b L c ] [ i a i b i c ] + ψ f [ cos ⁡ θ e cos ⁡ ( θ e − 2 π 3 ) cos ⁡ ( θ e + 2 π 3 ) ] (2) \left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{L}_{a}} & {{M}_{ab}} & {{M}_{ac}} \\ {{M}_{ba}} & {{L}_{b}} & {{M}_{bc}} \\ {{M}_{ca}} & {{M}_{cb}} & {{L}_{c}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}-\frac{2\pi }{3} \right) \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}+\frac{2\pi }{3} \right) \\ \end{matrix} \right] \tag{2} ψaψbψc=LaMbaMcaMabLbMcbMacMbcLciaibic+ψfcosθecos(θe32π)cos(θe+32π)(2)

式中: L a {{L}_{a}} La L b {{L}_{b}} Lb L c {{L}_{c}} Lc为a-b-c三相绕组自感系数,H; ψ f {{\psi }_{f}} ψf为永磁磁极产生的与定子绕组交链的磁链,Wb; M x y = M y x ( x = a b c , y = a b c ) {{M}_{xy}}={{M}_{yx}}(x=abc,y=abc) Mxy=Myx(x=abc,y=abc)为定子绕组互感系数,H; θ e {{\theta }_{e}} θe为电机转子位置弧度值, r a d rad rad

在a-b-c三相坐标系下,其数学模型是与转子瞬时位置有关的非线性方程,使得IPMSM电压和磁链方程较复杂。因此,需要建立更简单的数学模型,以方便对IPMSM进行控制。

(2) α-β两相静止坐标系

先建立永磁同步电机三个坐标系的关系,建立的两相静止坐标系中α轴与三相坐标系a相轴线重合,而β轴与α轴呈90º。建立的两相旋转坐标系d轴与转子磁链轴线重合,其方向与IPMSM转子励磁磁链方向相同,将q轴逆时针超前d轴90º,建立d-q轴坐标系。其坐标系之间的关系如图2所示,从图中可以看a轴与d轴夹角为 θ e {{\theta }_{e}} θe,假设一电流i,其与d轴夹角为 θ m {{\theta }_{m}} θm i a i b i c {{i}_{a}}{{i}_{b}}{{i}_{c}} iaibic为i在a-b-c轴系下的电流分量, i α i β {{i}_{\alpha }}{{i}_{\beta }} iαiβ为其在α-β轴系的电流分量, i d i q {{i}_{d}}{{i}_{q}} idiq为d-q轴系下的电流分量,由电流i为基础研究坐标变换。
内置式永磁同步电机IPMSM数学模型_第2张图片

图2三种坐标系之间的关系

首先为了简化自然坐标系(a-b-c相)下IPMSM的数学模型,将a-b-c轴系变换到α-β轴系,此变换称为Clark变换,根据图2各坐标之间的关系,变换为矩阵形式可得
[ i α i β i 0 ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 2 2 2 2 2 2 ] [ i a i b i c ] = T a b c / α β [ i a i b i c ] (3) \left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ \begin{matrix} & {{i}_{\beta }} \\ & {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{abc/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right] \tag{3} iαiβi0=1022 2123 22 2123 22 iaibic=Tabc/αβiaibic(3)

式中: T abc/ α β {{\mathbf{T}}_{\text{abc/}\alpha \beta }} Tabc/αβ为Clark变换矩阵。将α-β轴系变换到a-b-c轴系的坐标变换称为反Clark变换,如式(4)中 T α β / abc {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}} Tαβ/abc,表示为:
[ i a i b i c ] = [ 1 0 2 2 − 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 2 2 2 2 ] [ i α i β i 0 ] = T α β / a b c [ i α i β i 0 ] (4) \left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}{} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \begin{matrix} & -\frac{1}{2} \\ & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /abc}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right] \tag{4} iaibic=12121023 23 22 22 22 iαiβi0=Tαβ/abciαiβi0(4)

式中: T α β / abc {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}} Tαβ/abc为反Clark变换矩阵。通过Clark变换由式(1)、(2)、(3)联立可得α-β两相静止坐标系下的电压方程为
[ u α u β ] = [ R s 0 0 R s ] [ i α i β ] + d d t [ ψ α ψ β ] (5) \left[ \begin{matrix} {{u}_{\alpha }} \\ {{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{5} [uαuβ]=[Rs00Rs][iαiβ]+dtd[ψαψβ](5)

其中,
[ ψ α ψ β ] = [ L + Δ L cos ⁡ 2 θ e Δ L s i n 2 θ e Δ L s i n 2 θ e L − Δ L cos ⁡ 2 θ e ] [ i α i β ] + ψ f [ cos ⁡ θ e s i n θ e ] (6) \left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} L\text{+}\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} & \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} \\ \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} & L-\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ sin{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right] \tag{6} [ψαψβ]=[L+ΔLcos2θeΔLsin2θeΔLsin2θeLΔLcos2θe][iαiβ]+ψf[cosθesinθe](6)

式中: u α u β {{u}_{\alpha }}{{u}_{\beta }} uαuβ为定子电压的α-β轴分量; ψ α ψ β {{\psi }_{\alpha }}{{\psi }_{\beta }} ψαψβ为磁链的α-β轴分量; L = ( L d + L q ) / 2 L=\left( Ld+Lq \right)/2 L=(Ld+Lq)/2 Δ L = ( L d L q ) / 2 \Delta L=(LdLq)/2 ΔL=(LdLq)/2 ,分别为d、q轴电感均值和差值。

α-β两相静止坐标系下转矩方程为:
T e = p n [ ψ α i β − ψ β i α ] (7) {{T}_{e}}={{p}_{n}}\left[ {{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }} \right] \tag{7} Te=pn[ψαiβψβiα](7)

其中 p n {{p}_{n}} pn为电机极对数。相比较于a-b-c坐标系下的模型,α-β坐标系数学模型得到了一定简化。但对于IPMSM,其 L d {{L}_{d}} Ld L q {{L}_{q}} Lq,使得在α-β坐标系下IPMSM的电压、磁链、转矩方程仍是非线性方程组。因此,需对其数学模型进行进一步简化。

(3) d-q两相同步旋转坐标系

图2中将α-β轴系变换到 d - q d\text{-}q d-q轴系的坐标变换称为Park变换,如式(8)中 T α β / d q {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /dq}} Tαβ/dq,根据坐标关系可以推出
[ i d i q ] = [ cos ⁡ θ e sin ⁡ θ e − sin ⁡ θ e cos ⁡ θ e ] [ i α i β ] = T α β / d q [ i α i β ] (8) \left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & \sin {{\theta }_{e}} \\ -\sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /dq}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{8} [idiq]=[cosθesinθesinθecosθe][iαiβ]=Tαβ/dq[iαiβ](8)

d - q d\text{-}q d-q轴系变换到 α - β \alpha \text{-}\beta α-β轴系的坐标变换称为反Park变换,如式(9)中 T d q / α β {{\mathbf{T}}_{dq/\alpha \beta }} Tdq/αβ,根据坐标关系可以推出:
[ i α i β ] = [ cos ⁡ θ e − sin ⁡ θ e sin ⁡ θ e cos ⁡ θ e ] [ i d i q ] = T d q / α β [ i d i q ] (9) \left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & -\sin {{\theta }_{e}} \\ \sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{dq/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right] \tag{9} [iαiβ]=[cosθesinθesinθecosθe][idiq]=Tdq/αβ[idiq](9)
将式(5)进行Park变换可得:
{ u d = R s i d + d d t ψ d − ω e ψ q u q = R s i q + d d t ψ q + ω e ψ d (10) \left\{ \begin{matrix} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{d}}-{{\omega }_{e}}{{\psi }_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{q}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{d}} \\ \end{matrix} \right. \tag{10} {ud=Rsid+dtdψdωeψquq=Rsiq+dtdψq+ωeψd(10)

式中: u d {{u}_{d}} ud u q {{u}_{q}} uq分别为定子电压的 d - q d\text{-}q d-q轴分量, ψ d {{\psi }_{d}} ψd ψ q {{\psi }_{q}} ψq分别为磁链的 d - q d\text{-}q d-q轴分量, ω e {{\omega }_{e}} ωe为磁场旋转电角速度,rad。其中磁链的 d - q d\text{-}q d-q轴分量关系式为:
{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q (11) \left\{ \begin{matrix}{} {{\psi }_{d}}={{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}} \\ {{\psi }_{q}}={{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right. \tag{11} {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq(11)
式中: L d {{L}_{d}} Ld L q {{L}_{q}} Lq分别为 d - q d\text{-}q d-q轴电感。将式(11)代入式(10)即可以得到 d - q d\text{-}q d-q两相旋转坐标系下的电压方程为:
{ ∗ 35 l u d = R s i d + L d d d t i d − ω e L q i q u q = R s i q + L q d d t i q + ω e ( L d i d + ψ f ) (12) \left\{ \begin{matrix}{*{35}{l}} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}}) \\ \end{matrix} \right. \tag{12} {35lud=Rsid+LddtdidωeLqiquq=Rsiq+Lqdtdiq+ωe(Ldid+ψf)(12)

根据机电能量转换原理,此时电磁转矩方程为
T e = 3 2 p n i q [ i d ( L d − L q ) + ψ f ] (13) {{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{13} Te=23pniq[id(LdLq)+ψf](13)

另外,电机的机电运动方程为:
J d ω m d t = T e − T L − B ω m (14) J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}={{T}_{e}}-{{T}_{L}}-B{{\omega }_{m}}\tag{14} Jdtdωm=TeTLBωm(14)

式中: J J J为电机的转动惯量,kg*m2; ω m {{\omega }_{m}} ωm为机械角速度,rad/s; T L {{T}_{L}} TL为负载转矩,Nm;B为阻尼系数。
其中数学模型转换中另外存在的重要关系式为:
{ ω e = p n ω m N r = 30 π ω m θ e = ∫ ω e d t (15) \left\{ \begin{matrix}{} {{\omega }_{e}}={{p}_{n}}{{\omega }_{m}} \\ {{N}_{r}}=\frac{30}{\pi }{{\omega }_{m}} \\ {{\theta }_{e}}=\int{{{\omega }_{e}}dt} \\ \end{matrix} \right.\tag{15} ωe=pnωmNr=π30ωmθe=ωedt(15)

其中 N r {{N}_{r}} Nr为电机的转速,rpm。

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