内置式永磁同步电机IPMSM数学模型
1、永磁同步电机简介
三相永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)按照转子结构的不同可分为:
- 表贴式永磁同步电机（Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, SPMSM)
- 内置式永磁同步电机(Inner-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, IPMSM)
其结构图如图1所示。
(1)表贴式永磁同步电机：
- 永磁体呈瓦片状贴附在转子的外表面
- 气隙均匀，气隙的磁密波形趋近于正弦波
- 永磁材料的磁导率接近于空气磁导率1
- 转子磁路对称，轴电感相等
(2)内置式永磁同步电机：
- 永磁体位于转子内部
- 气隙不均匀
- 磁极直轴磁阻小
- 相邻的极间交轴磁阻大，使得转子磁路不对称，可以利用其产生较大的同步转矩
- 轴电感不相同，电磁性能表现为凸极性
2 内置式PMSM的坐标变换原理及其数学模型
PMSM数学模型包括a-b-c三相坐标系、α-β两相静止坐标系和d-q两相同步旋转坐标系下三种数学模型，本文所研究的IPMSM具有a、b、c三相对称绕组，为了简化分析其数学模型，需假设IPMSM为理想电机，满足以下条件：
- 忽略电机的涡流和磁滞损耗；
- 忽略电机定、转子的铁芯饱和效应；
- 电机稳定运行时，三相绕组的电流波形为标准的正弦波；
- 永磁材料电导率为0，其内部磁导率假定与空气磁导率相同。
基于以上假设对三种坐标系分别作了坐标变换和数学模型的研究。
(1) a-b-c三相坐标系
在a-b-c三相坐标系下，IPMSM的电压方程可表示为
[ u a u b u c ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i a i b i c ] + [ ψ a ψ b ψ c ] (1) \left[ \begin{matrix} {{u}_{a}} \\ {{u}_{b}} \\ {{u}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]\tag{1} ⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎡Rs000Rs000Rs⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+⎣⎡ψaψbψc⎦⎤(1)
式中： u a {{u}_{a}} ua、 u b {{u}_{b}} ub、 u c {{u}_{c}} uc为定子三相电压，V； i a {{i}_{a}} ia、 i b {{i}_{b}} ib、 i c {{i}_{c}} ic为定子三相电流，A； R s {{R}_{s}} Rs为定子电阻，Ω； ψ a {{\psi }_{a}} ψa、 ψ b {{\psi }_{b}} ψb和 ψ c {{\psi }_{c}} ψc分别为a、b、c三相绕组的磁链，Wb。
式中三相绕组的磁链方程可表示为
[ ψ a ψ b ψ c ] = [ L a M a b M a c M b a L b M b c M c a M c b L c ] [ i a i b i c ] + ψ f [ cos θ e cos ( θ e − 2 π 3 ) cos ( θ e + 2 π 3 ) ] (2) \left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{L}_{a}} & {{M}_{ab}} & {{M}_{ac}} \\ {{M}_{ba}} & {{L}_{b}} & {{M}_{bc}} \\ {{M}_{ca}} & {{M}_{cb}} & {{L}_{c}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}-\frac{2\pi }{3} \right) \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}+\frac{2\pi }{3} \right) \\ \end{matrix} \right] \tag{2} ⎣⎡ψaψbψc⎦⎤=⎣⎡LaMbaMcaMabLbMcbMacMbcLc⎦⎤⎣⎡iaibic⎦⎤+ψf⎣⎡cosθecos(θe−32π)cos(θe+32π)⎦⎤(2)
式中： L a {{L}_{a}} La、 L b {{L}_{b}} Lb、 L c {{L}_{c}} Lc为a-b-c三相绕组自感系数，H； ψ f {{\psi }_{f}} ψf为永磁磁极产生的与定子绕组交链的磁链，Wb； M x y = M y x ( x = a b c , y = a b c ) {{M}_{xy}}={{M}_{yx}}(x=abc,y=abc) Mxy=Myx(x=abc,y=abc)为定子绕组互感系数，H； θ e {{\theta }_{e}} θe为电机转子位置弧度值， r a d rad rad。
在a-b-c三相坐标系下，其数学模型是与转子瞬时位置有关的非线性方程，使得IPMSM电压和磁链方程较复杂。因此，需要建立更简单的数学模型，以方便对IPMSM进行控制。
(2) α-β两相静止坐标系
先建立永磁同步电机三个坐标系的关系，建立的两相静止坐标系中α轴与三相坐标系a相轴线重合，而β轴与α轴呈90º。建立的两相旋转坐标系d轴与转子磁链轴线重合，其方向与IPMSM转子励磁磁链方向相同，将q轴逆时针超前d轴90º，建立d-q轴坐标系。其坐标系之间的关系如图2所示，从图中可以看a轴与d轴夹角为 θ e {{\theta }_{e}} θe，假设一电流i，其与d轴夹角为 θ m {{\theta }_{m}} θm， i a i b i c {{i}_{a}}{{i}_{b}}{{i}_{c}} iaibic为i在a-b-c轴系下的电流分量， i α i β {{i}_{\alpha }}{{i}_{\beta }} iαiβ为其在α-β轴系的电流分量， i d i q {{i}_{d}}{{i}_{q}} idiq为d-q轴系下的电流分量，由电流i为基础研究坐标变换。
首先为了简化自然坐标系(a-b-c相)下IPMSM的数学模型，将a-b-c轴系变换到α-β轴系，此变换称为Clark变换，根据图2各坐标之间的关系，变换为矩阵形式可得
[ i α i β i 0 ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 2 2 2 2 2 2 ] [ i a i b i c ] = T a b c / α β [ i a i b i c ] (3) \left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ \begin{matrix} & {{i}_{\beta }} \\ & {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{abc/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right] \tag{3} ⎣⎡iαiβi0⎦⎤=⎣⎢⎡1022−212322−21−2322⎦⎥⎤⎣⎡iaibic⎦⎤=Tabc/αβ⎣⎡iaibic⎦⎤(3)
式中： T abc/ α β {{\mathbf{T}}_{\text{abc/}\alpha \beta }} Tabc/αβ为Clark变换矩阵。将α-β轴系变换到a-b-c轴系的坐标变换称为反Clark变换，如式(4)中 T α β / abc {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}} Tαβ/abc，表示为：
[ i a i b i c ] = [ 1 0 2 2 − 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 2 2 2 2 ] [ i α i β i 0 ] = T α β / a b c [ i α i β i 0 ] (4) \left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}{} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \begin{matrix} & -\frac{1}{2} \\ & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /abc}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right] \tag{4} ⎣⎡iaibic⎦⎤=⎣⎢⎡1−21−21023−23222222⎦⎥⎤⎣⎡iαiβi0⎦⎤=Tαβ/abc⎣⎡iαiβi0⎦⎤(4)
式中： T α β / abc {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}} Tαβ/abc为反Clark变换矩阵。通过Clark变换由式(1)、(2)、(3)联立可得α-β两相静止坐标系下的电压方程为
[ u α u β ] = [ R s 0 0 R s ] [ i α i β ] + d d t [ ψ α ψ β ] (5) \left[ \begin{matrix} {{u}_{\alpha }} \\ {{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{5} [uαuβ]=[Rs00Rs][iαiβ]+dtd[ψαψβ](5)
其中，
[ ψ α ψ β ] = [ L + Δ L cos 2 θ e Δ L s i n 2 θ e Δ L s i n 2 θ e L − Δ L cos 2 θ e ] [ i α i β ] + ψ f [ cos θ e s i n θ e ] (6) \left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} L\text{+}\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} & \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} \\ \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} & L-\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ sin{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right] \tag{6} [ψαψβ]=[L+ΔLcos2θeΔLsin2θeΔLsin2θeL−ΔLcos2θe][iαiβ]+ψf[cosθesinθe](6)
式中： u α u β {{u}_{\alpha }}{{u}_{\beta }} uαuβ为定子电压的α-β轴分量； ψ α ψ β {{\psi }_{\alpha }}{{\psi }_{\beta }} ψαψβ为磁链的α-β轴分量； L = ( L d + L q ) / 2 L=\left( Ld+Lq \right)/2 L=(Ld+Lq)/2， Δ L = ( L d L q ) / 2 \Delta L=(LdLq)/2 ΔL=(LdLq)/2 ，分别为d、q轴电感均值和差值。
α-β两相静止坐标系下转矩方程为：
T e = p n [ ψ α i β − ψ β i α ] (7) {{T}_{e}}={{p}_{n}}\left[ {{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }} \right] \tag{7} Te=pn[ψαiβ−ψβiα](7)
其中 p n {{p}_{n}} pn为电机极对数。相比较于a-b-c坐标系下的模型，α-β坐标系数学模型得到了一定简化。但对于IPMSM，其 L d {{L}_{d}} Ld≠ L q {{L}_{q}} Lq，使得在α-β坐标系下IPMSM的电压、磁链、转矩方程仍是非线性方程组。因此，需对其数学模型进行进一步简化。
(3) d-q两相同步旋转坐标系
图2中将α-β轴系变换到 d - q d\text{-}q d-q轴系的坐标变换称为Park变换，如式(8)中 T α β / d q {{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /dq}} Tαβ/dq，根据坐标关系可以推出
[ i d i q ] = [ cos θ e sin θ e − sin θ e cos θ e ] [ i α i β ] = T α β / d q [ i α i β ] (8) \left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & \sin {{\theta }_{e}} \\ -\sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /dq}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{8} [idiq]=[cosθe−sinθesinθecosθe][iαiβ]=Tαβ/dq[iαiβ](8)
将 d - q d\text{-}q d-q轴系变换到 α - β \alpha \text{-}\beta α-β轴系的坐标变换称为反Park变换，如式(9)中 T d q / α β {{\mathbf{T}}_{dq/\alpha \beta }} Tdq/αβ，根据坐标关系可以推出:
[ i α i β ] = [ cos θ e − sin θ e sin θ e cos θ e ] [ i d i q ] = T d q / α β [ i d i q ] (9) \left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & -\sin {{\theta }_{e}} \\ \sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{dq/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right] \tag{9} [iαiβ]=[cosθesinθe−sinθecosθe][idiq]=Tdq/αβ[idiq](9)
将式(5)进行Park变换可得：
{ u d = R s i d + d d t ψ d − ω e ψ q u q = R s i q + d d t ψ q + ω e ψ d (10) \left\{ \begin{matrix} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{d}}-{{\omega }_{e}}{{\psi }_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{q}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{d}} \\ \end{matrix} \right. \tag{10} {ud=Rsid+dtdψd−ωeψquq=Rsiq+dtdψq+ωeψd(10)
式中： u d {{u}_{d}} ud、 u q {{u}_{q}} uq分别为定子电压的 d - q d\text{-}q d-q轴分量， ψ d {{\psi }_{d}} ψd、 ψ q {{\psi }_{q}} ψq分别为磁链的 d - q d\text{-}q d-q轴分量， ω e {{\omega }_{e}} ωe为磁场旋转电角速度，rad。其中磁链的 d - q d\text{-}q d-q轴分量关系式为:
{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q (11) \left\{ \begin{matrix}{} {{\psi }_{d}}={{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}} \\ {{\psi }_{q}}={{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right. \tag{11} {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq(11)
式中： L d {{L}_{d}} Ld、 L q {{L}_{q}} Lq分别为 d - q d\text{-}q d-q轴电感。将式(11)代入式(10)即可以得到 d - q d\text{-}q d-q两相旋转坐标系下的电压方程为：
{ ∗ 35 l u d = R s i d + L d d d t i d − ω e L q i q u q = R s i q + L q d d t i q + ω e ( L d i d + ψ f ) (12) \left\{ \begin{matrix}{*{35}{l}} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}}) \\ \end{matrix} \right. \tag{12} {∗35lud=Rsid+Lddtdid−ωeLqiquq=Rsiq+Lqdtdiq+ωe(Ldid+ψf)(12)
根据机电能量转换原理，此时电磁转矩方程为
T e = 3 2 p n i q [ i d ( L d − L q ) + ψ f ] (13) {{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{13} Te=23pniq[id(Ld−Lq)+ψf](13)
另外，电机的机电运动方程为:
J d ω m d t = T e − T L − B ω m (14) J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}={{T}_{e}}-{{T}_{L}}-B{{\omega }_{m}}\tag{14} Jdtdωm=Te−TL−Bωm(14)
式中： J J J为电机的转动惯量，kg*m2； ω m {{\omega }_{m}} ωm为机械角速度，rad/s； T L {{T}_{L}} TL为负载转矩，Nm；B为阻尼系数。
其中数学模型转换中另外存在的重要关系式为：
{ ω e = p n ω m N r = 30 π ω m θ e = ∫ ω e d t (15) \left\{ \begin{matrix}{} {{\omega }_{e}}={{p}_{n}}{{\omega }_{m}} \\ {{N}_{r}}=\frac{30}{\pi }{{\omega }_{m}} \\ {{\theta }_{e}}=\int{{{\omega }_{e}}dt} \\ \end{matrix} \right.\tag{15} ⎩⎨⎧ωe=pnωmNr=π30ωmθe=∫ωedt(15)
其中 N r {{N}_{r}} Nr为电机的转速，rpm。