关于一元回归检验中的F检验问题

今天上多元回归的时候，学到对经验回归方程进行检验的时候，到了$F$检验这里的时候，一直想不出来$F=\frac{SSR/1}{SSE/(N-2)}$这个东西是怎么出来的。回寝室之后，想了许久并在网上查了一些东西，但是还没有具体的证明方法，只是暂时对查到的结果做一个简单的整理，为看到的人指一个模糊的方向，也为自己留一个记录，之后可以证下去。

1、网上的一份文档

这个是在网上查的时候看到的最多的一份文档，看过去应该是完成了证明，但是里面有涉及正交线性变换，我还没学过，也没有看懂，但先记下来，以后万一看懂了呢。
《证明残差平方和除随机项方差服从卡方分布》
https://www.docin.com/p-1185555448.html

2、谢宇《回归分析》

这本书是直接用的自由度来计算的，可惜没有完整的数学证明，但也是一个方向，也记一下吧，在原书第63页，下面是涉及到的大致内容：

我们将因变量$Y$的总变异分解为两个部分：被解释的变异和未被解释的变异。这里，被解释的变异是回归模型中的结构项或系统性变动，反映着自变量和因变量之间的线性关系；而未被解释的变异是回归模型中的随机项，它体现了来自变量之外的影响。利用这一关系，我们将回归平方和($SSR$)和残差平方和($SSE$)分别除以各自的自由度，就得到了回归均方$(MSR)$和残差均方$(MSE)$

在简单回归的情况下，只有一个自变量，故回归平方和$(SSR)$的自由度为1。而对于残差平方和$(SSE)$,我们需要以回归直线为基准进行计算（即对$y_i-\widehat{y_i}$进行估计）。同时，由于决定这条直线需要截距$b_0$和斜率$b_1$两个参数，故其自由度为$n-2$。另外，$MSE$是总体误差的方差的无偏估计。

$$MSR=\frac{SSR}{1}$$
$$MSE=\frac{SSE}{n-2}$$
然后求两者的比值，这就形成了一个可以对模型进行整体检验的统计量：
$$F=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}=\frac{MSR}{MSE}$$
因为该统计量服从自由度为$1$和$n-2$的$F$分布，因此可以直接用它做检验。

3、知乎网友的智慧

在知乎上看到了一个网友的关于$SSR/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(1)$的证明，虽然只有$SSR$的，但也是很可以了，而且证明思路是我想不出的，也许可以根据它证出$SSE$的分布。证明过程如下:

首先，已知：
$L_{xx}={\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2,\widehat{{\beta }_i}\sim N({\beta }_i,\frac{{\sigma }^2}{L_{xx}})，\widehat{y_i}=\widehat{{\beta }_o}+\widehat{{\beta }_1}{x}_i,\bar{y}=\widehat{{\beta }_o}+\widehat{{\beta }_1}\bar{x}$
因此：
$$\begin{array}{rl}SSR& =\sum _{i=1}^n(\widehat{y_i}-\bar{y}{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n(\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{x}_i-\widehat{{\beta }_0}-\widehat{{\beta }_1}\bar{x})\\ & =\sum _{i=1}^n[\widehat{{\beta }_1}(x_i-\bar{x}){]}^2\\ & ={\widehat{{\beta }_1}}^2\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\\ & ={\widehat{{\beta }_1}}^2{L}_{xx}\\ & \because \widehat{{\beta }_1}\sim N({\beta }_1,\frac{{\sigma }^2}{L_{xx}})\\ & 又\because \sqrt{SSR}=\widehat{{\beta }_1}\sqrt{L_{xx}}\\ & \therefore \sqrt{SSR}\sim N(\sqrt{L_{xx}}{\beta }_1,{\sigma }^2)\\ & \end{array}$$
接下来要考虑回归方程检验的目的，是为了能有足够的理由拒绝原假设，从而接受备择假设，故检验统计量的建立是在原假设成立的基础上成立的：
$$H_0:{\beta }_1=0,H_1:{\beta }_1\ne 0$$
所以如果在$H_0$成立的前提下，可接下去证明：
$$\begin{array}{rl}& \sqrt{SSR}\sim N(0,{\sigma }^2)\\ & \therefore \frac{\sqrt{SSR}}{\sigma }\sim N(0,1)\\ & \therefore \frac{SSR}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(1)\end{array}$$
得证

4、《线性模型引论》

知乎上有人推荐的，可能有完全的数学证明，但里面涉及矩阵论，太难了！！，没看懂。