应用笔记AN1078一阶数字低通滤波器推导和相位延迟计算

Microchip 的应用笔记 AN1078 中用作反电动势滤波的一阶数字低通滤波器由原文中的公式 4 给出，如下：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))

该滤波器又称作一阶 RC 数字低通滤波器，该公式可由下图所示的 RC 低通滤波电路中推导出来。

由电路学知识可得：

Vin=Vout+RCdVoutdt

其截止频率为：

ωc=2πfc=1RC

于是有：

2πfc(Vin−Vout)=dVoutdt

在数字域中，该方程式为：

2πfc(x(n)−y(n))=y(n)−y(n−1)T

整理后可得：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))

原式得证。

关于此滤波器，应用笔记 AN1078 中还有如下一段描述：

截止频率的值被设置为等于驱动电流和电机电压的频率，该频率等于每秒的电气旋转圈数。由于自适应滤波器的实现方式，会有一个固定的相位延时（每个滤波器 -45°），用于所有速度范围内的 θ 补偿，因为截止频率会随着电机提速而改变。

RC 低通滤波电路的相移角公式如下：

φ=−arctan(2πfRC)=−arctan(ffc)

不妨令 f=fc ，代入上式可得相移角为 φ=−arctan(1)=−45° 。即当截止频率等于输入信号的频率时，滤波器有一个固定的 -45° 的相位延时。