一道游戏设计趣题

题目

前两天好基友乘坐飞机去外地开年会，估计公司怕他们坐飞机实在太无聊，给他们搞了几道思考题。

在此我分享一下这道题目，以及答题思路。请先看题目内容。我直接上图片了，真的懒得打字呀~~~。

接下来分享一下解题思路：

首先想到的是最直接的方法，找出各种分类，并累加各种分类模式的总数即可。

对于5种兵种，其形式可分为：

1 1 1 1 1 （阵容为一样一个）     对此形式总数为 1 ，从5个兵种中取出5个兵种， 组合数为C55.

5             （阵容为同一兵种）     对此形式总数为5 ，从5个兵种中取出1个兵种，组合数为C51.

2 2 1       （2个某兵种，2个某其他兵种，1个某其他兵种） 对此形式总数为 30，组合数为C51 * C41 * C31 / 2. （这里需要除以2 ，要去除221中22引起的重复）

2 3          （请脑补）对此形式总数为20，组合数为C51 * C41.

1 4          （请脑补） 对此形式总数为20，组合数为C51 * C41.

1 1 1 2    （请脑补）对此形式总数为20，组合数为C51 * C41 * C31 * C21 / 6.（这里需要除以6 ，要去除1112中111引起的重复）

1 3 1       （请脑补）对此形式总数为30，组合数为C51 * C41 * C31 /2. （这里需要除以2 ，要去除131中1 1引起的重复）

一共为 1 + 5 + 30 + 30 + 20 + 20 + 20 = 126.

扩展

理论上此题目已经解决，但是还没有抽取出可以扩展的规律。也就是说还有找到解决问题的通式。进一步思考，想到了高中时学习的插空法。嗯，可用此法优化解题思路。

5个兵种槽位之间有4个空，插空即使将槽位进行分类。分类方式为插零个空C40(不分),插一个空C41（分成两部分），两个空C42（分成三部分），三个空C43（分成四部分），四个空C44（分成五部分）。

以分成两部分为例：

C41 * C52 ：C52的意思为从5个兵种中任取2个兵种。将两个兵种分配到C41个槽模式下，总数为40.

最终总数为：

C40*C51 + C41*C52 + C42*C53 + C43*C54 + C44*C55 =  5 + 40 + 60 + 20 + 1 = 126

再次扩展

将组合式(1)进行如下变换得到组合式（2）

C44*C51 + C43*C52 + C42*C53 + C41*C54 + C40*C55 (2)  

组合式（2）可以 => C95

9 为（5 - 1） + 5 也就是槽数 -1 + 兵种数

5 为 兵种数

所以类似问题均可用一个组合数来表示。妙哉！~

最后，我基友告诉我其实我推出了一个 公式。。。。

允许重复组合

还有一个巧妙的思路，可以直接得出C94的答案，在这里我就不介绍了，方法总比问题多，仅在这里抛砖引玉，如果错误请大家批评指正。谢谢。