JZOJ4800. 周末晚会

题目大意

n 个人坐成一桌，有一些是男生，一些是女生。要求不能有超过 k 个女生连续坐在一起。求所有可能的方案数，循环同构被认为是同一种方案。

Data Constraint
n,k≤2000

题解

先简单提一下Burnside引理。

Burnside引理

Ans=di|G|

Ans 是最后的方案数； di 是第 i 种置换下的不动点数； |G| 是置换群的大小，在本题中就是 n ，因为循环同构只有 n 种移动方式。

所以，我们只要求出了每种置换下的不动点数，就求出了答案。
考虑当前这种置换是移动 i(i∈[0,n−1]) 个，那么当前置换下就有 d=gcd(i,n) 个块。我们只要求出了前 d 个的方案，然后对应地copy过去就能得到一个在当前置换下不变的方案。
现在问题变成求长度为 d 的合法方案数。由于要copy，所以我们要求这 d 个的头尾0的数量小于等于 k 。我们设 f[i] 表示长度为 i+1 的串，强制头尾都是1的合法方案数，所以最后方案就是 ∑(d−i)∗f[i] ，因为一共有 d−i−1 个0，然后我们枚举这段插到哪一个空里面，一共 d−i 个空位，所以乘上 d−i 。维护两个前缀和就能解决了。

时间复杂度：O(n)

SRC

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std ;

#define N 2000 + 10
typedef long long ll ;
const int MO = 1e8 + 7 ;

ll f[N] , S[N] , Si[N] ;
int T , n , K ;
int ans ;

int gcd( int x , int y ) { return !y ? x : gcd( y , x % y ) ; }

ll Power( ll x , int k ) {
    ll s = 1 ;
    while ( k ) {
        if ( k & 1 ) s = (ll)s * x % MO ;
        x = (ll)x * x % MO ;
        k /= 2 ;
    }
    return s ;
}

int main() {
    scanf( "%d" , &T ) ;
    while ( T -- ) {
        scanf( "%d%d" , &n , &K ) ;
        Si[0] = ans = 0 ;
        f[0] = S[0] = 1 ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
            if ( i - 2 >= K ) f[i] = (S[i-1] - S[i-K-2] + MO) % MO ;
            else f[i] = S[i-1] ;
            S[i] = (S[i-1] + f[i]) % MO ;
            Si[i] = (Si[i-1] + f[i] * i) % MO ;
        }
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) {
            ll d = gcd( i , n ) ;
            if ( d - 2 >= K ) ans = ((ans + d * (S[d-1] - S[d-K-2] + MO) % MO) % MO - (Si[d-1] - Si[d-K-2] + MO) % MO + MO) % MO ;
            else ans = (ans + d * S[d-1] % MO - Si[d-1] + MO) % MO ;
            if ( K >= n ) ans = (ans + 1) % MO ;
        }
        ans = (ll)ans * Power( n , MO - 2 ) % MO ;
        printf( "%d\n" , ans ) ;
    }
    return 0 ;
}

以上.