JZOJ 3492 数数

Description

给出如下形式的等差数列：
B+A,B+2A,B+3A,...,B+NA
求每一项化成二进制后，一共有多少位 1 。

Data Constraint

1 <= A <= 10000 , 1 <= B <= 1016 , 1 <= N <= 1012

Solution

拆位考虑答案贡献。
考虑第 i 位的贡献。
我们知道一个数 a 模 2 可以表示成 a - ⌊a2⌋∗2
于是我们第 i 位的答案贡献可以表示成

∑a=1Na∗A+B2i−1−2∗∑a=1Na∗A+B2i

看一下，这不就是裸的类欧几里得算法吗？
直接上板子。
注意到答案并没有要求取模，所以在实现时需要把模数设为一个一定比答案大的数即可。

Code

#include
#include
#include
#include

#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mo=1e14;
ll n,m,j,k,l,i,o,p;
ll A,B,N; 
int tt;

ll times(ll a,ll b)
{
    ll y=0;
    for(;a;a>>=1,b=(b<<1)%mo)
    if(a&1)y=(y+b)%mo;
    return y;
}

ll f(ll A,ll B,ll C,ll n)
{
    if(n==0)return B/C;
    if(n<0)return 0;
    ll u1=n,u2=n+1;
    if(u2%2==0)u2>>=1;else u1>>=1;
    ll op=times(u1,u2);
    if(A==0)return times(B/C,n+1);
    if(A>=C||B>=C)return (times((A/C)%mo,op)+times(B/C,n+1)+f(A%C,B%C,C,n))%mo;
    ll m=(A*n+B)/C;
    return (times(n,m)-f(C,C-B-1,A,m-1))%mo;
} 

int main()
{
    cin>>tt;
    fo(ttt,1,tt){
        cin>>A>>B>>N;
        --N; B+=A;
        ll a1=B+N*A+B,a2=N+1;
        if(a1%2==0)a1>>=1;else a2>>=1;
        ll ans=times(a1%mo,a2);
        ll k=0,ks=2;
        for(;(k=f(A,B,ks,N))!=0;ks<<=1)
        ans=(ans-k)%mo;
        ans=(ans+mo+mo)%mo;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}