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- 没有传送门
- 题目大意
- 考场上的思路
- 思路
- 参考代码
- 生成函数总结
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没有传送门
题目大意
对于一个长度为 n n 的正整数序列 a a ，定义序列 b b 为序列 a a 的前缀位或（or）和。称一个序列 a a 是合法的，当且仅当 ai∈[1,2k] a i ∈ [ 1 , 2 k ] ，且对应的 b b 严格递增。求合法的序列 a a 的个数，答案对 998244353 998244353 取模。
n,k≤3×104 n , k ≤ 3 × 10 4 。
Limited Constraint：
- n,k≤300 n , k ≤ 300 ；
- n≤700 n ≤ 700 ， k≤2×103 k ≤ 2 × 10 3 ；
- n,k≤3×104 n , k ≤ 3 × 10 4 。
考场上的思路
严格递增即满足下一个数至少有一位是 1 1 ，且这些位在这一个数中为 0 0 。发现这跟 1 1 的位置无关，因此考虑 1 1 的个数。设 fi,j f i , j 表示前 i i 数的位或和中有 j j 个 0 0 ，边界条件为 f0,0=1 f 0 , 0 = 1 ，最终答案为 ∑fn,i ∑ f n , i ，状态转移方程为：
fi,j=∑l=0j−1fi−1,l⋅2l⋅(k−lj−l) f i , j = ∑ l = 0 j − 1 f i − 1 , l ⋅ 2 l ⋅ ( k − l j − l )
时间复杂度 O(nk2) O ( n k 2 ) 。考虑卷积，然后我一看有 46 46 分了，果断走了……
思路
为什么我果断走了呢？因为我并没有一眼看出来卷积的形式……
问题在于组合数里面有个 k k 。注意到，既然状态里有 1 1 的个数，我们能不能先不管选的哪些，而是最后再来管组合数呢？令 fi,j=(kj)gi,j f i , j = ( k j ) g i , j ，那么 g g 的状态转移方程为：
gi,j=∑l=0j−1gi−1,l⋅2l⋅(jj−l) g i , j = ∑ l = 0 j − 1 g i − 1 , l ⋅ 2 l ⋅ ( j j − l )
这就是个卷积形式了，用 NTT 优化，时间复杂度为 O(nklogk) O ( n k log k ) ，可以得到 59 59 分。
这种提出系数的技巧也不是第一次遇到了……
把上式写得简洁些：
gi,j=∑l=0j−1gi−1,l⋅2l⋅(jl) g i , j = ∑ l = 0 j − 1 g i − 1 , l ⋅ 2 l ⋅ ( j l )
注意到，这个过程类似于 l l 个里面选 j j 个分配给 A A ，剩下的分配给 B B ，然后把它们看成一个整体，并且以后还要继续像这样分配。这让我们想到指数型生成函数：
gi,jj!=∑l=0j−1gi−1,l⋅2ll!⋅1(j−l)! g i , j j ! = ∑ l = 0 j − 1 g i − 1 , l ⋅ 2 l l ! ⋅ 1 ( j − l ) !
不妨换元。用 l l 代换 j−l j − l ，上式等价于：
gi,jj!=∑l=1jgi−1,j−l⋅2j−l(j−l)!⋅1l! g i , j j ! = ∑ l = 1 j g i − 1 , j − l ⋅ 2 j − l ( j − l ) ! ⋅ 1 l !
设 G^i(x)=∑gi,jj!xj G ^ i ( x ) = ∑ g i , j j ! x j ，则上式相当于：
(G^i(x))[xj]=∑l=1j((G^i−1(2x))[xj−l])⋅((ex)[xl]) ( G ^ i ( x ) ) [ x j ] = ∑ l = 1 j ( ( G ^ i − 1 ( 2 x ) ) [ x j − l ] ) ⋅ ( ( e x ) [ x l ] )
由于 l l 从 1 1 开始，因此有：
G^i(x)=G^i−1(2x)×(ex−1) G ^ i ( x ) = G ^ i − 1 ( 2 x ) × ( e x − 1 )
注意到 G^0(x)=1 G ^ 0 ( x ) = 1 ，递归计算 G^n G ^ n 得：
G^n(x)=∏i=0n−1(e2ix−1) G ^ n ( x ) = ∏ i = 0 n − 1 ( e 2 i x − 1 )
注意到：
G^n(x)=G^n2(x)×G^n2(2n2x) G ^ n ( x ) = G ^ n 2 ( x ) × G ^ n 2 ( 2 n 2 x )
于是倍增做即可。如果 n n 是奇数，需要单独乘上 (e2ix−1) ( e 2 i x − 1 ) 。时间复杂度为 O(nlognlogk) O ( n log n log k ) 。
参考代码
#include
#include 生成函数总结
感觉这道题改着好吃力啊……
复习一下 ex e x 的泰勒展开式：
ex=∑i=0∞xii! e x = ∑ i = 0 ∞ x i i !
i i 的阶乘分之一。
ef(x) e f ( x ) 表示：
∑i=0∞(f(x))ii! ∑ i = 0 ∞ ( f ( x ) ) i i !