改进张益唐证明，陶哲轩「他的证明比我还强」
原标题：改进张益唐证明，陶哲轩「他的证明比我还强」，这个天才青年还解决了困扰数学界近 80 年的「简单问题」
鱼羊 萧箫 发自凹非寺
量子位报道公众号 QbitAI
传奇数学家张益唐之后，又有一位跟「孪生素数猜想」有关的数学家，摘下了「数论界最高奖」柯尔奖。
26 岁时，他不仅将猜想中素数间隔的上限由 7000 万降到了 600，大幅优化了张益唐的结果，还被陶哲轩亲口称赞：说实话，他的描述方式实际上比我的更干净……事实证明他的说法还略强。
而就在拿下柯尔奖前不久，这位来自牛津大学的青年数学家James Maynard，又和另一位数学家合作，攻下了一个困扰数学家们将近 80 年的难题——
Duffin-Schaeffer 猜想。
这一用有理数逼近无理数的问题，对于丢番图逼近领域的数学家来说，几乎可以说是最基础、最关键的问题之一。
改进张益唐最佳结果
张益唐一举成名，是因为「孪生素数猜想」。
猜想听起来很简单：证明存在无穷多对间隔为「有限」的质数。
只不过，张益唐证明的间隔为 7000 万，而这位数学家，James Maynard，直接将这个间隔缩小到了 600。
基于 James Maynard 的方法，有团队再次将间隔缩小到了 246，并推测间隔还能更小，可以说，他的方法带来了里程碑上的突破。
差不多是在同时，大洋彼岸的陶哲轩也在同一问题上，得出了基本相同的结果。
据 QuantaMagazine 报道，当时，James Maynard 还是名博士后，并没有多大名气。
但在读过 James Maynard 的证明方法后，陶哲轩认为，其证明方法比自己的更简洁。
出于惜才之心，陶哲轩主动放弃了与他一同发表这项研究的机会，以免自己的名气掩盖了年轻数学家的成就。
而事实证明，James Maynard 确实潜力无穷。
△ James Maynard 在思考质数问题
在他获得博士学位后的数年中，他在数论领域的长足进步，使得他声名鹊起。2017 年，时年 30 岁的他受聘成为牛津大学数学学院教授。
作为一名数论学家，他最新的「战绩」，是解决了一个曾困扰数学家们近 80 年的难题：Duffin-Schaeffer 猜想。
搞定 Duffin-Schaeffer 猜想
Duffin-Shaeffer 猜想是度量丢番图逼近中的一个重要猜想，由物理学家 Richard Duffin 和数学家 Albert Schaeffer 在 1941 年提出。
所谓丢番图逼近，是数论的一个分支，研究的是用有理数逼近实数。
我们知道，大部分的实数都是π、√2 这样的无理数，它们是无法用分数来表示的。
Duffin 和 Schaeffer 提出的猜想是这样的：
假设 f：N→R≥0是具有正值的实值函数，只有当级数
是发散的（q>0，φ(q)为欧拉函数，表示比q小且与q互质的正整数的个数），对于无理数 α 而言，就存在无穷多个有理数，满足不等式 α-(p/q) < f (q)/q。
也就是说，在寻找近似值的时候，先不考虑分子，而是从自然数中选出无穷多个数字作为分母。
然后，基于分母序列和指定的近似精度范围，来选择分子。
结果就是，如果无穷级数发散，就意味着已经近似了所有无理数；否则，就没有实现对任何无理数的近似。
这一猜想在有理近似中，普遍被数学家们认为是正确的标准，但如何证明它，却成为了困扰数学家们将近 80 年的问题。
而 James Maynard 和蒙特利尔大学的 Dimitris Koukoulopoulos 合作，用 44 页纸的论文一举证明了这一猜想。
在他们的证明中，他们用分母创建了一个图：把分母绘制成图上的点，如果两个点有许多共同的质因数，就用线将两点连接起来。
这样一来，图的结构就编码了每个分母所近似的无理数之间的重叠。原本这种重合度是难以直接测定的。
利用这种方法，他们证明了 Duffin-Schaeffer 猜想确实是正确的。
△图源：QuantaMagazine
QuantaMagazine 对此评价道：
这是数学领域最罕见的壮举之一：Koukoulopoulos 和 Maynard 给出了自己研究的领域中基本问题的最终答案。
Duffin-Schaeffer 猜想，这个世纪以来曾多次有数学家挑战，但都以失败告终的问题，最终能被 James Maynard 所解决，看似出乎意料，实则在情理之中。
毕竟，James Maynard 一直很「叛逆」。
锋芒毕露：叛逆的天才
出生在人文气息浓厚的家庭氛围里，James Maynard 唯独对数学情有独钟，学习中也表现得有点「离经叛道」：
据 QuantaMagazine 报道，一次物理考试中，规定如果不给计算过程，答案即使全对，也只有满分的⅓。
为了抗议，James Maynard 所有的题目都只写了答案，全对，但只拿了不到一半的分数。
不仅学习上如此，学术研究上也是如此。
在面对那些让人感兴趣的问题时，James Maynard 的第一反应都是：为什么不试试？
即使那些问题在学术界看来难以解决，在他这里也不是绊脚的理由。
当初在证明「孪生素数猜想」时，James Maynard 就曾得到过导师的警告：「我确信你无法解决这个问题，所以你没必要全力以赴。」
但这恰恰与 James Maynard「一不做，二不休」的人生信条相反。
面对导师的告诫，这位年轻叛逆的数学家只是耸耸肩，然后全身心地投入到数学研究中，最终完美地证明了这个问题，而这次的 Duffin-Schaeffer 猜想证明亦是如此。
除此之外，他还解决过几个质数相关的「简单」问题，听起来简单，论证却无比麻烦，感兴趣的同学们，不妨来试试：
1、不含数字「7」的质数有无限个。
2、不含「0-9」中任何一个给定数字的质数有无限个。
这个本硕于剑桥完成、并在牛津获得博士学位的天才数学家，年仅 33 岁就已获得过拉马努金奖（2014）、高级怀特海奖（2015）、欧洲数学学会奖（2016）等各大奖项，今年又获得了号称「数论界最高奖」的柯尔数论奖。
未来这位数论学家还会继续解决哪些问题，值得我们期待。
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/james-maynard-solves-the-hardest-easy-math-problems-20200701/
https://en.wikipedia.org/wiki/JamesMaynard (mathematician)
https://www.scientificamerican.com/article/new-proof-solves-80-year-old-irrational-number-problem/