【洛谷P4719】动态DP【LCT】【矩阵】

之前的后缀平衡树其实没完,只是过于鬼畜就弃了

传送门

题意:带修改点权的最大独立集

N ≤ 1 e 5 N \leq 1e5 N1e5

一个没啥用的模板,不过适合练习LCT

先写出方程

f ( u , 0 ) = ∑ v ∈ s o n ( u ) m a x { f ( v , 0 ) , f ( v , 1 ) } f(u,0)=\sum_{v \in son(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\} f(u,0)=vson(u)max{f(v,0),f(v,1)}

f ( u , 1 ) = v a l ( u ) + ∑ v ∈ s o n ( u ) f ( v , 0 ) f(u,1)=val(u)+\sum_{v\in son(u)}f(v,0) f(u,1)=val(u)+vson(u)f(v,0)

首先一个显然的想法,每次修改暴力跳父亲,显然会T而且实测这玩意极易写挂

但是我们发现直接跳父亲到根的这段信息就浪费了

然而这段信息极其玄学,并不能写出来,遇到这种考虑矩阵乘法

因为这是棵树,结构是很难确定的,写不出转移矩阵。

所以考虑剖一下

这里采用LCT维护子树

对于每个节点 u u u,维护子树 g ( u , 0 / 1 ) g(u,0/1) g(u,0/1)

g ( u , 0 ) = ∑ v ∈ v i r s o n ( u ) m a x { f ( v , 0 ) , f ( v , 1 ) } g(u,0)=\sum_{v\in virson(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\} g(u,0)=vvirson(u)max{f(v,0),f(v,1)}

g ( u , 1 ) = v a l ( u ) + ∑ v ∈ v i r s o n ( u ) f ( v , 0 ) g(u,1)=val(u)+\sum_{v \in virson(u)}f(v,0) g(u,1)=val(u)+vvirson(u)f(v,0)

( v i r s o n virson virson表示虚儿子)

可以理解为只考虑虚节点的 f f f

由于这个只有求和,所以可以在切换的时候顺便改一下,然后就可以当常数用

这样可以把状态转移方程写到链上

v v v u u u的重儿子

f ( u , 0 ) = m a x { f ( v , 0 ) , f ( v , 1 ) } + g ( u , 0 ) f(u,0)=max\{f(v,0),f(v,1)\}+g(u,0) f(u,0)=max{f(v,0),f(v,1)}+g(u,0)

f ( u , 1 ) = f ( v , 0 ) + g ( u , 1 ) f(u,1)=f(v,0)+g(u,1) f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)

上面那个改一下

f ( u , 0 ) = m a x { f ( v , 0 ) + g ( u , 0 ) , f ( v , 1 ) + g ( u , 0 ) } f(u,0)=max\{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)\} f(u,0)=max{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)}

f ( u , 1 ) = f ( v , 0 ) + g ( u , 1 ) f(u,1)=f(v,0)+g(u,1) f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)

上矩阵了

当然要扩展下定义, A ∗ B = C A*B=C AB=C定义为

C i , j = max ⁡ k { A i , k + B k , j } C_{i,j}=\max_k\{A_{i,k}+B_{k,j}\} Ci,j=kmax{Ai,k+Bk,j}

然后

[ f ( u , 0 ) , f ( u , 1 ) ] = [ f ( v , 0 ) , f ( v , 1 ) ] [ g ( u , 0 ) , g ( u , 1 ) g ( u , 0 ) , − ∞ ] \left[ \begin{matrix} f(u,0),f(u,1) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} f(v,0),f(v,1) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} g(u,0),g(u,1) \\ g(u,0),-\infin \end{matrix} \right] [f(u,0),f(u,1)]=[f(v,0),f(v,1)][g(u,0),g(u,1)g(u,0),]

单位矩阵

[ 0 , − ∞ − ∞ , 0 ] \left[ \begin{matrix} 0,-\infin \\ -\infin,0 \end{matrix} \right] [0,,0]

注意因为一些奇怪的原因,上面那个拆开是倒着的,所以update要倒着写

#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct edge{int u,v;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v)
{
	e[++cnt]=(edge){u,v};
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
struct mat
{
	int e[2][2];
	mat()
	{
		for (int i=0;i<2;i++)
			for (int j=0;j<2;j++)
				e[i][j]=-INF;
	}
	inline int max(){return std::max(e[0][0],e[0][1]);}
	inline int* operator [](int i){return e[i];}
};
inline mat operator *(mat a,mat b)
{
	mat ans;
	ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
	for (int i=0;i<2;i++)
		for (int j=0;j<2;j++)
			for (int k=0;k<2;k++)
				ans[i][j]=max(ans[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
	return ans;
}
int val[MAXN];
mat dp[MAXN],trans[MAXN];
int ch[MAXN][2],fa[MAXN];
inline void update(int x){dp[x]=dp[ch[x][1]]*trans[x]*dp[ch[x][0]];}
inline bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
inline int get(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y];
	int l=get(x),r=l^1;
	int w=ch[x][r];
	if (!isroot(y)) ch[z][get(y)]=x;
	ch[x][r]=y;ch[y][l]=w;
	if (w) fa[w]=y;
	fa[y]=x;fa[x]=z;
	update(y);update(x);
}
void splay(int x)
{
	while (!isroot(x))
	{
		int y=fa[x];
		if (!isroot(y))
		{
			if (get(x)==get(y)) rotate(y);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}
inline void access(int x)
{
	for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
	{
		splay(x);
		trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]+=dp[ch[x][1]].max());
		trans[x][0][1]+=dp[ch[x][1]][0][0];
		trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]-=dp[y].max());
		trans[x][0][1]-=dp[y][0][0];		
		ch[x][1]=y;
		update(x);
	}
}
void dfs(int u,int f)
{
	fa[u]=f;
	int g[2]={0,val[u]};
	for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if (e[i].v!=f)
		{
			dfs(e[i].v,u);
			g[0]+=dp[e[i].v].max();
			g[1]+=dp[e[i].v][0][0];
		}	
	trans[u][0][0]=trans[u][1][0]=g[0];
	trans[u][0][1]=g[1];
	dp[u]=trans[u];
}
int main()
{
	dp[0][0][0]=dp[0][1][1]=0;
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		addnode(u,v);addnode(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	cerr<<dp[1].max()<<'\n';
	while (m--)
	{
		int x,v;
		scanf("%d%d",&x,&v);
		access(x);splay(x);
		trans[x][0][1]-=val[x];
		trans[x][0][1]+=(val[x]=v);
		update(x);
		splay(1);
		printf("%d\n",dp[1].max());
	}
	return 0;
}

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