【洛谷P4719】动态DP【LCT】【矩阵】

之前的后缀平衡树其实没完，只是过于鬼畜就弃了

传送门

题意：带修改点权的最大独立集

$N\le 1e5$

一个没啥用的模板，不过适合练习LCT

先写出方程

$$f(u,0)=\sum _{v\in son(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\}$$

$$f(u,1)=val(u)+\sum _{v\in son(u)}f(v,0)$$

首先一个显然的想法，每次修改暴力跳父亲，显然会T而且实测这玩意极易写挂

但是我们发现直接跳父亲到根的这段信息就浪费了

然而这段信息极其玄学，并不能写出来，遇到这种考虑矩阵乘法

因为这是棵树，结构是很难确定的，写不出转移矩阵。

所以考虑剖一下

这里采用LCT维护子树

对于每个节点$u$,维护子树$g(u,0/1)$

$$g(u,0)=\sum _{v\in virson(u)}max\{f(v,0),f(v,1)\}$$

$$g(u,1)=val(u)+\sum _{v\in virson(u)}f(v,0)$$

($virson$表示虚儿子)

可以理解为只考虑虚节点的$f$

由于这个只有求和，所以可以在切换的时候顺便改一下,然后就可以当常数用

这样可以把状态转移方程写到链上

设$v$是$u$的重儿子

$$f(u,0)=max\{f(v,0),f(v,1)\}+g(u,0)$$

$$f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)$$

上面那个改一下

$$f(u,0)=max\{f(v,0)+g(u,0),f(v,1)+g(u,0)\}$$

$$f(u,1)=f(v,0)+g(u,1)$$

上矩阵了

当然要扩展下定义，$A\ast B=C$定义为

$$C_{i,j}=\underset{k}{\max }\{A_{i,k}+B_{k,j}\}$$

然后

$$\left[\begin{array}{c}f(u,0),f(u,1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(v,0),f(v,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}g(u,0),g(u,1)\\ g(u,0),-\infty \end{array}\right]$$

单位矩阵

$$\left[\begin{array}{c}0,-\infty \\ -\infty ,0\end{array}\right]$$

注意因为一些奇怪的原因，上面那个拆开是倒着的，所以update要倒着写

#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN 100005
#define MAXM 200005
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct edge{int u,v;}e[MAXM];
int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt;
void addnode(int u,int v)
{
	e[++cnt]=(edge){u,v};
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}
struct mat
{
	int e[2][2];
	mat()
	{
		for (int i=0;i<2;i++)
			for (int j=0;j<2;j++)
				e[i][j]=-INF;
	}
	inline int max(){return std::max(e[0][0],e[0][1]);}
	inline int* operator [](int i){return e[i];}
};
inline mat operator *(mat a,mat b)
{
	mat ans;
	ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
	for (int i=0;i<2;i++)
		for (int j=0;j<2;j++)
			for (int k=0;k<2;k++)
				ans[i][j]=max(ans[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
	return ans;
}
int val[MAXN];
mat dp[MAXN],trans[MAXN];
int ch[MAXN][2],fa[MAXN];
inline void update(int x){dp[x]=dp[ch[x][1]]*trans[x]*dp[ch[x][0]];}
inline bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
inline int get(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y];
	int l=get(x),r=l^1;
	int w=ch[x][r];
	if (!isroot(y)) ch[z][get(y)]=x;
	ch[x][r]=y;ch[y][l]=w;
	if (w) fa[w]=y;
	fa[y]=x;fa[x]=z;
	update(y);update(x);
}
void splay(int x)
{
	while (!isroot(x))
	{
		int y=fa[x];
		if (!isroot(y))
		{
			if (get(x)==get(y)) rotate(y);
			else rotate(x);
		}
		rotate(x);
	}
}
inline void access(int x)
{
	for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
	{
		splay(x);
		trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]+=dp[ch[x][1]].max());
		trans[x][0][1]+=dp[ch[x][1]][0][0];
		trans[x][0][0]=(trans[x][1][0]-=dp[y].max());
		trans[x][0][1]-=dp[y][0][0];		
		ch[x][1]=y;
		update(x);
	}
}
void dfs(int u,int f)
{
	fa[u]=f;
	int g[2]={0,val[u]};
	for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if (e[i].v!=f)
		{
			dfs(e[i].v,u);
			g[0]+=dp[e[i].v].max();
			g[1]+=dp[e[i].v][0][0];
		}	
	trans[u][0][0]=trans[u][1][0]=g[0];
	trans[u][0][1]=g[1];
	dp[u]=trans[u];
}
int main()
{
	dp[0][0][0]=dp[0][1][1]=0;
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		addnode(u,v);addnode(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	cerr<<dp[1].max()<<'\n';
	while (m--)
	{
		int x,v;
		scanf("%d%d",&x,&v);
		access(x);splay(x);
		trans[x][0][1]-=val[x];
		trans[x][0][1]+=(val[x]=v);
		update(x);
		splay(1);
		printf("%d\n",dp[1].max());
	}
	return 0;
}