库仑定律

在冬天，脱毛衣时经常可以看到电火花，梳头发时梳子可以吸附头发，与别人接触或者与金属接触会有触电的感觉······

这些现象都是静电现象，发生了电荷转移。首先通过摩擦等外力，使原子中的电子摆脱原子核束缚，从一个物体转移到另一个物体，从而使两个物体带上了相反的电荷。符号相反的电荷会相互吸引，当发生中和时就会产生火花或者有触电的感觉。

研究这些静电现象最基本的定律是库仑(Coulomb)定律。它是由法国科学家于1785年通过实验得出来的。其表述为：真空中静止点电荷$Q$对另一静止点电荷$Q^{\prime }$的作用力$F$为
$$F=\frac{Q{Q}^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}r$$
式中$r$是由$Q$到$Q^{\prime }$的径矢，${\epsilon }_0$是真空电容率（真空介电常数）。库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大小和方向，并没有解决这种作用力的物理本质问题。

库仑作用力是通过场来传递的。一个电荷周围的空间存在着一种特殊物质，即电场，另一电荷处于该电场内，就受到电场的作用力。对电荷有作用力是电场的特征性质。

一个典型的例子是电路。假设电路中的载流子是电子。没有接通电源的时候，电子的运动是无规则的，没有形成宏观的电流。当接上电源以后，电源在电路中激发电场，这个电场以光速在电路中传播。随后这个电场对电路中的电子施加作用力，使电子在电路中定向移动，产生宏观电流。

由库仑定律可知，处于电场内的电荷$Q^{\prime }$所受的力与$Q^{\prime }$成正比。用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义电荷所在点$x$上的电场强度$E(x)$。电荷$Q^{\prime }$在电场$E$中所受的力$F$为
$$F=Q^{\prime }E$$
根据库仑定律，一个静止点电荷$Q$所激发的电场强度为
$$E=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$$

电场具有叠加性，即多个电荷所激发的电场等于每个电荷所激发的电场的矢量和。设第$i$个电荷$Q_i$到$P$点的矢径为$r_i$，则$P$点上的总电场强度$E$为
$$E=\sum _i\frac{Q_i{r}_i}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$$
许多情况下，可以把电荷看作连续分布于某一区域内。设电荷连续分布于区域$V$内。在$V$内某点$x^{\prime }$上取一个体积元$d{V}^{\prime }$，在$d{V}^{\prime }$内所含电荷$dQ$等于该点上的电荷密度$\rho (x^{\prime })$乘以体积$d{V}^{\prime }$
$$dQ=\rho (x^{\prime })d{V}^{\prime }$$
设由点源$x^{\prime }$到场点$x$的矢径为$r$，则场点$P$上的电场强度$E$为
$$E(x)={\int }_V\frac{\rho (x^{\prime })r}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}d{V}^{\prime }$$
积分遍及空间中电荷分布区域。

库仑定律和万有引力定律都是典型的平方反比定律。在最后聊聊对平方反比的理解。我们生存的空间是三维空间，并且是各向同性的（沿空间中不同的方向，物理规律不会发生改变）。假设在空间中某一点激发电场，由于空间的各向同性，这个电场会以该点为球心，以球面的形式向外扩散。由于电场是具有能量的，在每一个球面上，能量都是均匀分布的。半径为$r$的球的表面积$S=4\pi r^2$，由于能量守恒，在距离球心处为$r$的位置，其能量密度为$E_0/S=E_0/4\pi r^2$(其中$E_0$为总能量)，从而有平方反比的关系。

即平方反比定律是场在各向同性的三维空间中传播的结果。同样，如果是在二维空间中传播的，那么能量密度就与距离的一次方成反比，例如水中的波浪；如果是在一维空间中传播，那么能量密度与距离的零次方成反比，即与距离无关，例如在一根绳子中产生的简谐波，能量会完全传播出去。依此类推，在四维空间中就应该有立方反比定律······

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