关于平面图到对偶图的转化

闲话

哇对偶图真的是个好东西, 昨天考NOI2010的时候前两道很快做完了, 看着t3发呆了1个多小时, 啥也想不出来. 看着网格图突然想到听说bzoj1001狼抓兔子可以用对偶图求解. 对偶图是啥我也不知道, 听说把面看成点, 连边后跑一边最短路就可以了. 但是当时想到这个突然发现自己不会建对偶图, 看时间还有一个多小时, 于是建了8种可能的图, 每一个都跑一遍spfa, 发现有一个可以过样例, 手动模拟一下觉得这种建图没错, 就交上去了. 没想到居然还对了, 哈哈NOI2010我居然290(spfa被卡了一个点), 心中狂喜, 但是一想到t1做过, t3蒙对也就不敢说什么了, 而且这是10年的题了, 时代在进步啊…

什么是平面图?

平面图的定义就是所有的边只在顶点处相交, 这里就是一个例子.


这里写图片描述


你看, 边与边之间没有相交吧~.
其实这是论文PPT的图, 本人画的太丑就不挂出来了.

So…对偶图?

对于每一个平面图, 都有与其相对应的对偶图. 我们假设上面的例图是图G, 与其对应的对偶图G*, 那么对于G*来说, G*上面的每一个点, 对应的是G里面的每一个面. 比如说下面就是G*.

这里写图片描述

上面的点就是对偶图G里的点.
那么关于对偶图G*里的边呢 ? 对于G中本来的每条边e, 他是两个面(比如说面f1和f2)的交边, 那么在对偶图里, 我们对这两个面(f1, f2)所映射在G*里的点连线(f1* 连向f2*). 如果f1 == f2(比如说G中5, 6这条边, 边的两侧都是同一个面, 那我们就建一条回边.
图就长这样(回边在5, 6那里).


这里写图片描述


这个就是对偶图了.

平面图与对偶图之间的关系

1.G*中的环与G中的割一一对应.(割就是一些边, 如果割掉这些边使图分成两个互不连通的子图的话, 就称之为割).
举例: 1*-2*-3*-4*这个G*里的环, 对应的是G中1-3, 2-3, 3-4, 3-5这个割.
TIPS:这个性质对于平面图的最小割有巨大的作用.

2.G的面数等于G*的点数, G与G*的边数相同.

The END

希望能对大家有所帮助. 平面图转对偶图在平面图网络流问题里面作用巨大. 最小割转对偶图最短路问题解法:Click Here.

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