小波变换教程(二十)

小波变换网文精粹：小波变换教程(二十)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

二十、小波级数：CWT的离散化(二)

        如果用数学公式来描述上述离散化过程，尺度参数离散为s = s_0^j，平移参数离散为tau = k*s_0^j*tau_0，其中 s_0>1，tau_0>0。 由此可以看出平移参数的离散化是如何依赖于尺度离散化参数s_0。

        连续小波函数为：

            

                                                   式 3.22

将s = s_0^j，tau = k*s_0^j*tau_0代入上式，则小波函数变为： 

                

                                                 式 3.23

        如果{psi_(j,k)}为一组正交基，则小波级数变换变为：

                  

                                                 式 3.24

或者

                

                                                 式 3.25

         小波级数需要{psi_(j,k)}满足正交，或者双正交，或者框架条件。如果{psi_(j,k)}不是归一化正交，则式3.24变为：

                       

                                                式 3.26

其中hat{ psi_{j,k}^*(t)}为二重双正交或者二重框架(此处*表示共轭)。

        如果{psi_(j,k) }为正交或者双正交，上述变换为非冗余的。如果{psi_(j,k) }为框架，则变换是冗余的。当然，从另外一方面讲，构造框架比发现正交或者双正交基要容易得多。

        下面的类比可能会帮助更清晰地理解上述概念。将整个处理过程当作观察一个具体的物体，人眼首先是粗略地对物体进行观察，其程度与眼睛距物体的远近而有所不同。这对应着调整尺度参数s_0^(-j)。如果是近距离详细观察物体，j为负，并且绝对值很大(低尺度，高频率，对信号进行详细分析)。以很小的幅度缓慢地移动眼睛，对应着很小的tau = k*s_0^j*tau_0。如果j为负数并且绝对值很大时，tau则对应着时间上的微小变化（高采样频率），而s_0^-j则变化很大(低尺度，高频率，采样频率很高)。尺度参数也可以看作是放大。

        采样频率到底最低到多少仍然能保证信号的完全重构？这是对上述过程进行最优化时必须回答的主要问题。从编程的角度来说，最方便的数值是 s_0=2，tau=1。显然，当采样频率尽可能低的时候，可能的正交小波数目也自然减少了。

        前面给出的连续小波变换的例子实际上就是给定信号的小波级数。其参数的选择与信号有关。由于并不需要信号的重构，采样频率有时候远偏离于标准值。在不同的例子中，s_0的取值范围从2到10，tau_0的范围从2到8。

        在结束小波级数讨论的时候，还有一个问题需要讨论。虽然离散化的小波变换，即小波级数可以利用计算机来运算，但运算时间从数秒到数小时不等。这主要依赖于信号的长度及所需的分辨率。计算信号的小波变换还有一种令人着迷的快速算法，即离散小波变换(DWT)。关于DWT的内容稍后介绍。