微积分的魅力，无敌！

前言

现代微积分是在17世纪的欧洲由牛顿和莱布尼茨（相互独立，在同一时间首次出版）发展起来的，但其中的元素最早是出现在古希腊，然后在中国和中东，再次在中世纪的欧洲和印度。目的是为了解决求瞬间运动和曲线下面积这两个问题。

这里还有个精彩的故事，是说当年牛顿和莱布尼茨第一次发表各自的成果时，数学界就发明微积分的归属和优先权问题爆发一场旷日持久的大争论。牛顿最先得出结论，而莱布尼茨最先将其发表。牛顿称莱布尼茨从他未发表的手稿中盗取了想法，皇家学会的一些成员也跟牛顿持同一观点。这场大纷争将使数学家分成两派：一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家。结果是对英国数学家不利。日后对牛顿和莱布尼茨的论文的小心检视，证实两人是独立得出自己的结论。莱布尼茨从积分推导，牛顿从微分推导。

在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立创始者。牛顿最先将微积分应用到普通物理当中，而莱布尼茨创作了不少今天在微积分所使用的符号。牛顿、莱布尼茨都给出了微分、积分的基本规则，二阶与更高阶导数，近似多项式级数的记法等。在牛顿的时代，微积分基本定理是已知的事实。

1.1 基本概念

微积分学（Calculus） 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的学问。正如：几何学是研究形状的学问、代数学是研究代数运算和解方程的学问一样。微积分学又称为“初等数学分析。

1.2 分类

微积分学在代数学和几何学的基础上建立起来。分为三个分支，分别是极限、微分学、积分学。

• 微分学，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述，包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。使函数、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。
• 积分学，积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，包括求积分的运算，为定义和计算长度、面积、体积等提供一套通用的方法。不定积分是导数的逆运算，即反导数；积分是微分的逆运算。
• 极限，导数（微商）是一种极限。定积分也是一种极限，即随自变量的延申，值无限趋近于某个值。

1.3 基本定理

微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）又称微积分基本公式，证实微分和积分互为逆运算。更精确地说，它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单，微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

1.4 应用

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括精算、计算机、统计、工业工程、商业管理、医药、护理、人口统计，特别是物理学；经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代科学技术，如：机械、水利、土木、建筑、航空及航海等工业工程都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在（非常数）变化率和总改变之间互相转化，让我们可以在已知其中一者时求出另一者。

物理学大量应用微积分；古典力学、热传和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量、物体的转动惯量、物体在保守力场的总能量都可用微积分来计算。牛顿第二定律便是微积分在力学中的一个应用例子：它的最初陈述使用了“变化率”一词，而“变化率”即是指导数。陈述大意为：物体动量的变化率等于作用在物体上的力，而且朝同一方向。今天常用的表达方式是F=ma，它包括了微分，因为加速度是速度的导数，或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度，我们就可以得出它的路径。

麦克斯韦尔的电磁学理论和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖率和死亡率来模拟种群改变。

微积分可以与其它数学分支并用。例如，可与线性代数并用，来求得某区域中一组点的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中，来确定由给定密度函数所给出的连续随机变量之概率。在解析几何对函数图像的研究中，微积分可以用来求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。

在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退规律，微积分可以推导出服药规律。

在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际收益来确定最大利润。

微积分也被用于寻找方程的近似值；实践中，它是在各种应用里解微分方程、求根的标准做法。典型的方法有牛顿法、定点迭代法、线性近似等。比如：宇宙飞船利用一种欧拉方法的变体来求得零重力环境下的近似航线。