数据结构与算法丨期末复习

为了帮助自己更好地梳理、记忆书中的概念，写了这样一个大杂烩一般的博客。

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一些在习题解析看到的做题方法

证明题：

• 数学归纳法
• 减治，如确定了一个子结论就把这些元素/点/边删除

计算复杂度：

• 自己造的概念，如势能分摊分析。
• Fibonaccian数的利用，也许涉及递推+规模差为1，都可以利用到Fib数

算法设计：

• 消除歧义性：数据都是整数时加上一定的小数（注意字长不要超）；合成数，取作向量，可以明确依照字典数比大小。总之就是，在保障原有正确性的时候（偏序性、和最小等等），修正一下数据

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图与图的应用

一些要点整理

• 邻接矩阵/邻接表（点-点）与关联矩阵（点-边）的性能
• DFS树
• BFS树
• 拓扑排序
• 优先级搜索

BFS算法

• 距离树根的深度在辅助队列中单调排列，辅助队列中的点的深度相差不超过1。
• 算法的时间复杂度为O(n+e)。
• 无向图/有向图具有两种边，TREE和CROSS，TREE连接的点dist相差1，CROSS连接的点dist至多相差1。

DFS算法

• 算法的时间复杂度为O(n+e)。
• 对于无向图有两种边的类型，TREE和BACKWARD；对于有向图有四种边的类型，TREE（v的工作区间完全cover掉u且v指向u）、FORWARD（同TREE但有别的工作区间隔在中间，见P577）、BACKWARD（v的工作区间完全cover掉u但u指向v）、CROSS（两者工作区间完全无交），具体例子可以见讲义P574。（记当前循环的点为v，其邻点为u）

优先级搜索

• 即给每个点维护一个优先级数，生成树的时候优先遍历优先级数高的邻点。
• 时间主要消耗在遍历全图+更新优先级数两重循环上，时间复杂度为O(n²)。
• Prim算法：每次将距离当前树距离最小的一个点加入当前树，构造MST。优先级数就是与当前树的最短距离。算法正确性证明：每一割的极短跨边都会被一MST采用；
• Kruskal算法：
• Dijkstra：从起点s开始，树的规模每增加1，更新新加入点的邻点的优先级数。优先级数是与起点s的最短距离。生成最短路径树。

其他的图算法

• BCC的判定：dTime与hca+栈。时间复杂度为O(n+e)。
• Kruskal算法：将边从短到长排列，贪心遍历，若组成回路则跳过。并查集算法。时间复杂度O(ne)。
• Floyd-Warshall算法：通过最短路径矩阵实现，动态规划填表法。时间复杂度O(n³)。

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二叉搜索树以及应用

一些要点整理

• 基本接口：查找/插入/删除（由谁来接替？两种情况）
• 保障平衡：BBST和AVL

BBST

• zig/zag保障BST的等价性——上下可变，左右不乱。
• zig：与左儿子一起右转。zag：与右儿子一起左转。旋转的后果：左/右子树的高度至少各变化1。

AVL Tree

• 高度为h的AVL树至少含有S(h)=fib(h+3)-1个结点。
• AVL的重平衡：插入可能带来大规模的失衡，而删除至多带来一次失衡。插入的复衡操作只需解决最先失衡的即可控制住，而删除的复衡操作解决了失衡的之后，后面反而会带来一连串的失衡。更直观的方法是3+4重构。通过单旋和双旋使AVL复衡。

KD-Tree

• 一维情况：结构上，一棵子树对应一个一维的字区间，而根结点存放的是区间的“中点”（为转弯提供路标），即左子树的最大值。首先通过二分查找对应到一个线性区间的左右端点。从它们的LCA开始，向区间左/右断点走的过程中，每次左/右拐的时候汇报出右/左子树，则区间中的所有点被汇报出来。
• 复杂度分析：初始化的时间复杂度为O(nlogn)，每次查询的时间复杂度为O(logn)，空间复杂度为O(n)。关键码的存储可能重复，但是空间渐进复杂度并没有因此增加。
• 二维情况：结构上，一棵子树对应一个二维点集（&一个区域），左右子树根据x/y方向来平分点集。查找平面内某个区域对应的点时，则递归查找。与一维情况类似，真正的存储位置位于叶子，内部结点只提供指明区域的作用。
• 复杂度分析：初始化的时间复杂度为O(nlogn)，每次查询的时间复杂度为$O(\sqrt{n}+r)$，空间复杂度为O(n)。
• 多维情况：讲义P763。

Multi Level Search Tree

• 首先根据x坐标信息生成一棵x-tree，每棵子树代表的是一个根据x坐标信息划分的区间。而每个结点挂着一棵y-tree，储存该区间内所有点的y坐标信息。查找时，先在x-tree找到对应的x区间，再在对应的y-tree里找到y信息。
• 复杂度分析：初始化的时间复杂度为O(nlogn)，查询的时间复杂度为O(log²n+r)，空间复杂度为O(nlogn)。
• 多维情况：讲义P773。

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高级搜索树

Splay Tree

• 单层伸展时间复杂度$\Omega (n)$，逐层伸展时间复杂度O(logn)。伸展树的所有基本操作接口的分摊时间复杂度都为O(logn)。
  

B-Tree

• 插入/删除导致的上溢/下溢的复杂度都可能达到O(h)，但是分摊的时间复杂度都是O(1)。
  

红黑树

• 拓扑结构的变化不超过O(1)。
• 四条规则：树根必为黑色；外部结点必为黑色；红结点只有黑孩子；外部结点到根的黑深度相等。
• 等价(2,4)B树。
• 插入红结点，双红修正。至多logn次染色，1次结构调整。
  
• 删除黑结点，双黑修正。至多logn次染色，1次结构调整。
  
• 但是，==在分摊意义下，红黑树重染色的次数为O(1)。

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词典

• 两项基本任务：精心设计散列表和散列函数，尽可能降低冲突的概率；制定可行的预案，以便发生冲突时，能够尽快予以排解。
• 桶排序
• MaxGap：相当于用n个桶给n个数做桶排序，时间复杂度O(n)。
• 桶排序的应用：基数排序，整数排序，计数排序。
• 跳转表：空间复杂度expected-O(n)，查找的时间复杂度expected-O(logn)。

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优先级队列

• 堆序性：由顶向下满足顺序。分为小顶堆、大顶堆等等。
• 复杂度分析：插入和删除时会上滤以及下滤，时间复杂度O(logn)。事实上，平均复杂度为O(1)。
• Floyd建堆法：自下而上的下滤，时间复杂度是优秀的O(n)。
• 锦标赛树：空间复杂度O(n)，每次取出最大之后时间复杂度O(logn)。其对于堆排序的优势在于比较次数少，堆排序每层的下滤都要与两个孩子比较，Floyd总的比较次数略少于2n。
• 左式堆：只满足堆序性，合并的时间复杂度是O(logn)。而插入和删除都可以用merge来实现。

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排序

桶排序

• 适用情况：数多，范围小，重复元素多。采用了循秩访问的方法，而非CBA。
• 利用保序的hash函数放进散列中对应的位置，最后遍历输出散列即可。
• 时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n+m)，其中m为数据范围。

基数排序

• 从低位到高位做桶排序（10个桶）。
• 设最高位数是t，若t是常数，时间复杂度O(n)。

整数排序

• 适用情况：大集合+小数据数的对数密度为O(1)，n个数来自[0, n^d)。
• 将数转为d位的n进制数（用数组装的），接着做d次桶排序。
• 时间复杂度O(n)。

计数排序

• 使用情况：小集合+大数据，重复元素多。
• 过程：分桶并统计每个数的数量；自前向后扫描各同，确定每个数的秩区间；自后向前扫描元素，对应桶的计数减1，即是该元素最终的秩。
• 时间复杂度O(n)。

堆排序

• 不断调用delMax()，时间复杂度为O(blogs)。

希尔排序

• 减量递增。时间复杂度随每次序列不同而不同。