神奇的补码

目录

1. 补码诞生的背景

2. 原码、反码、补码

2.1 原码

2.2 反码

2.3 补码

3. 加减法

3.1 普通算术加减法

3.2 模N加减法

4. 总结

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1. 补码诞生的背景

       不论是在生活中还是虚拟网络中，人们总是习惯与10进制数字打交道，很容易理解10进制的加减乘除运算，但是我们知道计算机无法直接理解10进制，只能识别高低电平，一般人为设定0为低电平，1为高电平，所以又称计算机是二进制的。在计算机发展早期，人们要想使用计算机，只能使用计算机看懂的二进制与计算机打交道，如穿孔纸带，人们使用穿孔纸带将程序和数据转换为二进制码，带孔为1，无孔为0，计算机读取并处理完成后，同样在纸带上以二进制打孔输出计算结果，一般人很难操作这种早期计算机，只能是专业人士才能处理二进制的转换。随着科技的进步，普通人也能熟练的操作计算机，表面上似乎计算机已经理解了10进制，但是实际上，计算机最底层还是二进制的，这就需要10进制到二进制的自动转换以及使用二进制进行各种运算。

       10进制到二进制的转换需要考虑两方面，第一个是编码格式，二进制中只有0和1，不同于常用的10进制使用 + 或者 - 符号代表正负数，要想让二进制只使用1和0代表正负数，需要找到合适的编码格式；第二个是运算，以加减运算为例，计算机内部是比较复杂的，计算机实现加法运算是很容易的，若直接作减法则比较复杂，需要处理借位等等，内部逻辑组件会增多，所以计算机一般在减去一个数的时候会转成加上这个被减数的负数，将减法转换成了加法，即A - B = A + （-B）。所以需要找到一种满足这两个方面的编码，目前10进制转换成二进制主要有三种方式：原码、反码、补码，下面将从编码格式和运算两方面对比这三种编码格式。

 

2. 原码、反码、补码

2.1 原码

       原码是最简单也是最直观的从10进制到二进制的编码格式，人为规定原码的最高位为符号位，正数为0，负数为1，其余所有位为10进制数的绝对值。如下面例子：

10进制	二进制原码（4位）
4	0 100 （首位为0，代表为正数）
2	0 010 （首位为0，代表为正数）
0	0 000 （首位为0，代表为正数）
-2	1 010 （首位为1，代表为负数）
-4	1 100 （首位为1，代表为负数）

       原码的优点是编码格式对人很友好，类似十进制中的正负号，原码用最高位0和1分别代码正负数，很直观的表示了正负数。但是原码也有一个很大的缺点，就是无法将减法转换成加法运算，如：

4 - 2 （10进制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 010  （二进制原码） = 1110 （二进制原码）= -6 （10进制）

       上面例子计算4-2，将4-2转换成4+(-2)并用原码计算，得出的结果错误，原码虽然很直观转换了10进制数，但是计算输出的原码值并不正确，所以计算机不能直接使用原码存储和计算。

 

2.2 反码

       反码的出现，主要是为了解决原码无法执行减法运算的问题，人为规定反码最高位为符号位，正数为0，负数为1，反码正数与原码正数格式一致，反码负数为负数绝对值的原码按位分别取反，如下面例子：

10进制	二进制原码（4位）	二进制反码（4位）
4	0 100 （首位为0，代表为正数）	0 100 （首位为0，代表为正数）
2	0 010 （首位为0，代表为正数）	0 010 （首位为0，代表为正数）
0	0 000 （首位为0，代表为正数）	0 000 （首位为0，代表为正数）
-2	1 010 （首位为1，代表为负数）	1 101 （首位为1，代表为负数）
-4	1 100 （首位为1，代表为负数）	1 011 （首位为1，代表为负数）

       反码的负数编码格式不像原码那样直观，但是却可以将减法转换成加法了，反码减法规则为：A - B = A + （-B），如果最高位发生了溢位，则需要在最低位加上1，如下面两个例子：

1）4 - 2 （10进制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 101  （二进制反码） = 1 0001 （二进制反码，发生了溢位）=  0001 + 0001（最低位加1） = 0010 （二进制反码）= 2（10进制）

2）2 - 2 （10进制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 101  （二进制反码） = 1111 （二进制反码）=  - 0 （10进制）

       运用反码减法规则，得到的上面两个例子的减法结果是正确的，所以计算机是可以使用反码存储和计算的，早期的计算机如CDC 6000、LINC、PDP-1等都是使用反码的，但是反码也有两个缺点：1）0有两种编码，+0 （0000）和 -0 （1111），在判断0时，需要分别判断0000和1111；2）反码减法的算法规则比较复杂，需要增加计算机内部逻辑组件额外判断溢位，会影响计算效率。

 

2.3 补码

       补码是现代计算机使用的编码格式，解决了上面反码的两个缺点。正数的补码与原码格式相同，负数的补码是将负数绝对值的原码分别按位取反，并加1，如下面例子

10进制	二进制原码（4位）	二进制补码（4位）
4	0 100 （首位为0，代表为正数）	0 100
2	0 010 （首位为0，代表为正数）	0 010
0	0 000 （首位为0，代表为正数）	0 000
-2	1 010 （首位为1，代表为负数）	1 110
-4	1 100 （首位为1，代表为负数）	1 100

       补码的减法规则比较简单，按照最简单的转换公式A-B = A + （-B），当减去一个数时直接转换成加上被减数的负数即可，不用像反码那样额外处理溢位，如下面两个例子：

1）4 - 2 （10进制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 110  （二进制补码） = 1 0010 （二进制补码，发生了溢位，直接丢弃溢位）=  0010（二进制补码） = 2（10进制）

2）2 - 2 （10进制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 110  （二进制补码） = 1 0000（二进制补码，发生了溢位，直接丢弃溢位）=  0000 （二进制补码） = 0（10进制）

       使用了补码的加法，上面两个例子得出的结果都是正确的，相对于反码，补码加法更简单，直接丢弃溢位，不需要针对溢位单独处理，所以用补码做运算效率高。虽然补码运算过程很简单，但是转换和运算规则却很难理解，要弄明白其中的原理，就需要揭开补码背后的数学奥秘。

 

3. 加减法

       加减运算有两种运算方式，一种是普通算术加减法，通常生活中使用的是10进制普通算术加减法；另一种是模N加减法，计算机补码执行加减运算，则是使用了模N加减法。

3.1 普通算术加减法

       普通算术加减法是我们在生活中一直使用的，也是最简单和最容易理解的，通常人为使用 + 和 - 符号规定正负数，正数通常省略 + 符号， 如10，20，-10，-20，正负数的加减运算则可以看成是一维运算，如下图：

       上图是普通算术加减法示意图，当执行加法运算时，需要向右移动，比如0+3，在0位置向右移动3位，即为0+3的结果；同样的，当执行减法运算，向左移动。向左和向右是没有尽头的，可以一直移动到正的无穷大或者负的无穷大。普通算术加减法简单直观，很容易被人理解，但是对于计算机要实现这样的算术加减法，既要区分正负数，又要分别实现加减法，设计就会很复杂，效率会很低，所以这套算术加减法并不适用计算机。所以需要找到一种不需要区分正负数就可以实现加减法转换的规则，那么计算机运行效率就会最高。

 

3.2 模N加减法

       模N加减法正是不需要区分正负数就可以实现加减法转换的运算方式，不同于普通算术加减法，它是二维运算，要理解模N加减法比较困难，可以先用生活最典型的时钟举例，如下图：

       上面是生活中常见的时钟，如果当前时间为凌晨1点，要知道5个小时之后的时间是多少，只需要顺时针旋转5格，指向了6点，即为1+5的结果；如果想知道5个小时之前的时间是多少，需要逆时针旋转5格，指向晚上8点，即为1-5的结果。时钟顺时针相当于时间向前走，逆时针相当于时间往后走，但是时钟不会指向无穷大的数，当转过24个小时（24小时制）又回到了原点。在时钟转动中，1-5的最终结果为晚上8点，逆时针旋转5个小时就可以得到正确结果，同时也可以顺时钟旋转19个小时（24-5，24小时制），两种方式旋转都最终指向了晚上8点。所以任意逆时针旋转得到的结果都能通过顺时钟旋转得到，当逆时针旋转N个小时，与顺时针旋转24-N小时相等，24又称为模，如果把顺时针看成是加法，逆时针看成是减法，那么时钟旋转可以看成模24的加减法运算，满足公式A-m=A+（24-m），即在时钟任一时刻A点，从A点逆时针旋转m个小时得到的结果，与从A点顺时针旋转24-m得到的结果一致。模N运算将减法转换成了加法。

       计算机使用的二进制位数是有限制的，比如4位，8位，16位，64位等等，当数值太大超过最大位数时，会发生溢出，重新归0，所以计算机的二进制能表示的数不是无穷大的，由于溢出归零的特点，更像时钟旋转，如下图：

       上图的四位二进制表示了从0000-1111，当超出1111时，四位已无法表示，会发生溢出，高于四位的位会被丢掉，比如1111加上2等于10001,10001包含五位二进制，最高位1会被丢掉，实际结果为0001，与时钟运算很相似，相当于在1111顺时针旋转了2个数。在时钟运算中，将顺时针看成加法，逆时针看成减法，那么时钟运算可以看成是模24的加减法，同理四位二进制也可以看成是模N的加减法，在4位二进制中，转一圈为2^4=16，所以4位二进制的加减法为模16的加减法，减法很容易的就被转换成了加法，即满足模N加减法公式：A-m=A+（16-m）。

       虽然根据模N加减法实现了加减法转换，但此时又有新的问题，4位二进制只有1和0，是没有区分正负数的，而人们在计算的时候是要区分正负数的，所以需要人为将部分二进制划分为负数，另一部分划分为正数，根据模N加减法公式A-m=A+（16-m），当A为零点时，根据模N加减法公式得到 0-m=0+16-m，即-m=16-m，即将零点A逆时针移动m得到负数m，同时这个负数m也可以从零点A顺时针移动16-m得到，零点A可以为上面四位二进制任意一位，比如定义0000或者0001为零点都是可以的，但是为了简单运算，人为规定0000为零点，0000逆时针方向的为负数，顺时针方向的为正数。如在0000逆时针旋转1个数或者顺时针旋转16-1得到1111，那么1111代表-1，相应的顺时针移动一个数为+1，即用0001表示+1；同理在0000逆时针旋转2个数或者顺时针旋转16-2得到1110，那么1110代表-2，相应的顺时针移动两个数为+2，即用0010表示+2；同理1101和0011分别为-3和+3，1100和0100分别为-4和+4，1011和0101分别为-5和+5，1010和0110分别为-6和+6，1001和0111分别为-7和+7，但是1000比较特殊，0000逆时针旋转8个数得到1000，所以1000为-8，相应的顺时针旋转8个数也得到了1000，1000既能表示-8又能表示+8，为了不产生冲突，人为规定1000为-8。如下图：

       上图中的四位二进制根据模N加减法划分出了正负数，同理对任意n位二进制，模N等于=2^n，根据上面的模N加减法公式得到-m = N - m = 2^n - m = (2^n -1) - m + 1，最终得到了负数推导公式-m = (2^n -1) - m + 1，（2^n-1）-m即为负数的原码绝对值按位取反，之后再加上1可以快速得到负数编码，又称这种负数编码为补码。补码负数范围转换成10进制为 -1 ~ -2^（n-1），正数范围转换成10进制为 0 ~ 2^（n-1）-1，所以补码转换成10进制为 -2^（n-1） ~ 2^（n-1）-1。

NOTE1：上述循环圈与格雷码中的映射圈相似，圈上的数都是在直径两端放置，端的数据除去最高位，其余位均相同；不同的是，格雷码映射圈中，是以格雷码形式进行排列的；
NOTE2：上述式子中左右两端的数表示都是采用二进制补码形式；
NOTE3：实际上，A-B=A+(-B)，采用二进制补码操作，字面上的意思可以理解为：减去1个数，就等于加上这个数的相反数，相反数的补码=将这个数的补码按位取反+1（注意是所有位取反，这与负数的补码是不同的）；
NOTE4：在模N加减法中，-m = N - m = 2^n - m = (2^n -1) - m + 1 ==> -m + (m-1) = 2^n -1，即负数的补码+相反数的补码-1=1…1(n个1的序列)

 

4. 总结

       要想弄清楚补码，必须要弄清楚补码要解决的问题，计算机是二进制的，无法直接表示正负数，另外在计算机内部直接实现减法，也会影响计算机效率，所以人们希望要找到一种既能使用二进制表示10进制正负数的编码格式，同时这种编码格式又能满足将减法转换成加法进行运算，同时满足这两个条件有反码和补码，但由于反码中的0有两个编码格式，另外反码加法运算也比较复杂，慢慢地反码被淘汰了。补码刚好解决了反码的两个缺点，所以补码成了现代计算机的通用编码。

       补码加减法运算不同于常规的算术加减法，补码使用了模N加减法，要想完全理解补码，首先要理解模N加减法。