专升本高数——第三章 一元函数导数的应用【学习笔记】

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目录：

补充：中值定理及洛必达法则

1.罗尔定理

2.拉格朗日中值定理

3.柯西中值定理

4.洛尼达法则

一 微分中值定理

1.知识点

（1）罗尔定理

（2）拉格朗日中值定理

（3）中值定理的两个推论

2.典型题型（4个例题）

二： 利用导数判断函数的单调性，求极值，最值

1.知识点

（1）判定函数的单调性的要点

（2）函数极值的概念

​（3）极值存在的必要条件

（4）两个充分条件

（5）求函数极值的步骤

（6）求闭区间上连续函数的最值的步骤

2.典型题型（5个例题）

三： 判断曲线的凹凸性，求曲线的渐近线

1.知识点

          （1）曲线凹凸性的概念

​（2）拐点：凹凸交界点

​（3）曲线凹凸性的判定方法、看二阶导数

​（4）判定曲线的凹凸性和求拐点的步骤

​（5）曲线的渐近线确定的方法

​2.典型题型（6个例题）

四：利用洛必达法则求不定式的极限

1.知识点

           （1）不定式的概念

​（2）洛必达法则【o/o;无穷/无穷】

2.典型题型（13个例题）​

五： 利用中值定理及导数证明不等式

1.知识点

2.典型题型（7个例题）

六：利用函数的连续性、单调性证明方程根的存在性

1.知识点

（1）证明有一个根

​（2）证明有若干个根​

2.典型题型（1个例题）

七： 利用最值的计算求解实际问题

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补充：中值定理及洛必达法则

1.罗尔定理

2.拉格朗日中值定理

3.柯西中值定理

4.洛尼达法则

一 微分中值定理

1.知识点

（1）罗尔定理

在闭区间上连续
在闭区间内可导
f(a)=f(b)
则在区间(a,b)上至少存在一点c使得f(c)的导数等于0

（2）拉格朗日中值定理

在闭区间上连续
在闭区间内可导
至少存在一点c的导数，等于两端点差值求导斜率

（3）中值定理的两个推论

2.典型题型（4个例题）

=============================================================================

二： 利用导数判断函数的单调性，求极值，最值

1.知识点

（1）判定函数的单调性的要点

（2）函数极值的概念

（3）极值存在的必要条件

（4）两个充分条件

（5）求函数极值的步骤

（6）求闭区间上连续函数的最值的步骤

2.典型题型（5个例题）

=============================================================================

三： 判断曲线的凹凸性，求曲线的渐近线

1.知识点
（1）曲线凹凸性的概念

（2）拐点：凹凸交界点

（3）曲线凹凸性的判定方法、看二阶导数

（4）判定曲线的凹凸性和求拐点的步骤

（5）曲线的渐近线确定的方法

2.典型题型（6个例题）

=============================================================================

四：利用洛必达法则求不定式的极限

1.知识点
（1）不定式的概念

（2）洛必达法则【o/o;无穷/无穷】

【注意：无穷小替换，乘积可以，但是加减不行】

无穷-无穷【先通分，然后结合洛必达法则来】
0*无穷【将其化为：无穷/无穷的形式（相除）】

1的无穷次幂
0的0次幂
无穷大的0次幂

2.典型题型（13个例题）

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五： 利用中值定理及导数证明不等式

1.知识点

【思考：三阶求导大于零单调递增，所以二阶也是递增，一阶递增，原函数也递增吗】

2.典型题型（7个例题）

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六：利用函数的连续性、单调性证明方程根的存在性

【可以回看一下那个例题】

1.知识点

（1）证明有一个根

（2）证明有若干个根

2.典型题型（1个例题）

=============================================================================

七： 利用最值的计算求解实际问题