多元向量值函数的微分

定理：

设：
m,n∈N,m,n≥1,
x=(x1,⋯,xn)⊺,
f(x)=(f1(x),⋯,fm(x))⊺,
f′(x)=Jf(x)=A=(aij(x))m×n=(a1,⋯,an)⊺,
Δx=(Δx1,⋯,Δxn)⊺,
Δy=f(x+Δx)−f(x)=(Δy1,⋯,Δym)⊺,
r=∑nj=1Δxj2−−−−−−−−−√
则：
∀i∈N,1≤i≤m,dyi=∑nj=1aijdxj,
⇔dy=df(x)=Adx=∑nj=1ajdxj
注：
记 ∂y∂x=A, 则等式可写为：
dy=∂y∂xdx

证明：

∀i∈N,1≤i≤m,dyi=∑nj=1aijdxj,
⇔∀i∈N,1≤i≤m,Δyi=∑nj=1aijΔxj+r⋅αi(x,Δx),
其中 limx→0αi(x,Δx)=0,
⇔Δy=AΔx+r⋅α(x,Δx),
其中 α(x,Δx)=(α1(x,Δx),⋯,αm(x,Δx))⊺,1≤i≤m,
limx→0α=0
（易知： ∀i∈N,1≤i≤m,limx→0αi=0⇔limx→0α=0 ）
⇔dy=df(x)=Adx=∑nj=1ajdxj

推论：

1. (∂y∂x)ij=aij=∂yi∂xj,
   证明：
   由 dyi=∑nj=1aijdxj, 可得。
2. (dy)i=dyi
   证明：
   (dy)i=∑nj=1aijdxj=dyi
3. d(ky)=kdy
   证明：
   (d(ky))i=d((ky)i)
   =d(kyi)
   =kdyi
   =k(dy)i
   =(kdy)i
4. y=((y1,⋯,ym)⊺,z=((z1,⋯,zm)⊺ 可微,
   则： d(y+z)=dy+dz
   证明：
   ∀i∈N,1≤i≤m,
   (d(y+z))i=d((y+z)i)
   =d(yi+zi)
   =dyi+dzi
   =(dy)i+(dz)i
   =(dy+dz)i