bzoj3625(NTT+多项式求逆+多项式开根）

这题是我搜NTT搜到的，当时就看到“多项式开根”这样的标题，于是找到了L-leader的博客，补了下幂级数的东西，用两节数学课学会了。

题面

我再看题解，好像都是教我怎么开方，求逆的，然后又拖了几天。终于昨晚睡不着，突然就想到了。。。

先介绍一下生成函数。
简单的说，就是一个数组a[0..n]，可以生成一个多项式函数（幂级数）

f(x)=∑i=0na[i]∗xi

题意是给你二叉树每个节点可能的点权集合C，元素都<=1e5，对于所有1<=s<=m，有种不同的二叉树满足点权和为s，答案模一个费马素数。

设g[i]为一个01数组，表示i是否在C出现，f[i]为权值和为i的方案数，即是答案。F为f的生成函数，G为g的生成函数，根据题意g[0]=0，因为存在空树，f[0]=1；

我们可以枚举二叉树根的权值，剩下左右儿子为子问题，就有

f[x]=∑i=0xg[i]∑j=0x−if[j]∗f[x−i−j]

就可以大概知道 F=F2G 。
根据f[0]=1，g[1]=0，所以有 F=F2G+1

通过解一元二次方程，再结合f[0]=1，g[1]=0

F=21+1−4G−−−−−−√

然后就是多项式求逆和多项式开根了。

#include 
#include 
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int p=998244353,I2=499122177;
const int N=800400;

int cheng(int a,int b)
{
    int res=1;
    for(;b;b>>=1,a=(LL)a*a%p)
    if(b&1)
    res=(LL)res*a%p;
    return res;
}

int n,rev[N];

void init(int lim)
{
    n=1;
    int k=-1;
    while(n1,k++;
    for(int i=0;i>1] >> 1) | ((i&1)<int *a,int ops)
{
    for(int i=0;iif(ifor(int l=2;l<=n;l<<=1)
    {
        int m=l>>1,wn;
        if(ops)
        wn=cheng(3,(p-1)/l);
        else
        wn=cheng(3,p-1-(p-1)/l);
        for(int i=0;iint w=1;
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                int t=(LL)a[i+k+m]*w%p;
                a[i+k+m]=(a[i+k]-t+p)%p;
                a[i+k]=(a[i+k]+t)%p;
                w=(LL)w*wn%p;
            }
        } 
    }
    if(!ops)
    {
        int Inv=cheng(n,p-2);
        for(int i=0;i*Inv%p;
    }
}

int g[N];
int mx=1,by,nn,mm;
int X[N],Y[N],sqr[N],A[N],B[N],C[N];

void Inverse(int *a,int *b,LL len)
{
    if(len==1)
    {
        b[0]=cheng(a[0],p-2);
        return;
    }
    Inverse(a,b,len>>1);
    init(2*len);
    for(int i=0;ifor(int i=0;i<(len>>1);i++)
    Y[i]=b[i];

    ntt(X,1);
    ntt(Y,1);
    for(int i=0;i2ll*Y[i]%p-(LL)X[i]*Y[i]%p*Y[i]%p+p)%p;
    ntt(X,0);
    for(int i=0;iif(i>=len)
        b[i]=0;
        else
        b[i]=X[i];
        X[i]=Y[i]=0;
    }
}

void Sqrt(int len)
{
    if(len==1)
    {
        sqr[0]=1;//本题被开方的多项式常数项为1 
        return;
    }
    Sqrt(len>>1);
    Inverse(sqr,A,len);

    for(int i=0;i<(len>>1);i++)
    B[i]=sqr[i];
    for(int i=0;i*2);
    ntt(A,1);
    ntt(B,1);
    ntt(C,1);
    for(int i=0;i1ll*C[i]+(LL)B[i]*B[i])%p*I2%p*A[i]%p;
    ntt(A,0);
    for(int i=0;isqr[i]=A[i];
        if(i>=len)
        sqr[i]=0;
        A[i]=B[i]=C[i]=0;
    }
}

int main()
{
    cin>>nn>>mm;
    while(mx<=mm)
    mx<<=1;

    for(int i=1;i<=nn;i++)
    {
        scanf("%d",&by);
        if(by<=mm)
        g[by]=1;
    }

    for(int i=0;iif(g[i])
    g[i]=p-4;
    g[0]=1;

    Sqrt(mx);
    sqr[0]=(sqr[0]+1)%p;

    mmst(g,0);

    Inverse(sqr,g,mx);
    for(int i=1;i<=mm;i++)
    printf("%d\n",(g[i]+g[i])%p);

    return 0;
}