微积分Z2 J3 函数极限的概念

简介

这一节就开始介绍极限的概念了，但标题为什么又是函数极限的概念呢？
这是因为在函数中，极限运用的更广，作用更大，主要被求极限的主体一般都是函数。因此有时候说极限，其实是在说函数极限。
但严格讲极限确实是函数的极限，因为极限分为数列极限和函数极限，数列是函数的一种特例，所以也能归入函数极限之中。
目录：

• 极限的定义
• 极限的情况

极限的定义

描述性定义

极限由极限思想衍生而来。
$f(x)$在一个变化过程中无限趋于某个常数，就说这个常数是$f(x)$的极限，记作${\lim }_{变化过程}f(x)$.
例如，当x趋于正无穷，即$x\to +\infty$时，$f(x)$的极限是1，那么${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$
变化过程分类以及其符号表示，会在后续给出。

精确性定义

描述性定义不好计算，因此用精确性定义替代。由于数列的情况简单，因此先以数列为例。

对数列$\{a_n\}$，若$\forall ϵ>0,\exists N\in N_{+},$使得当$n>N$时，恒有不等式：$$|a_n-A|<ϵ$$那么称A为该数列的极限，记作${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$。

理解：

• 该绝对值不等式表示$a_n$到A在数轴上的距离无限小，也就是$a_n$无限趋于A。$ϵ$是一个无法确定数值的正数，但$n>N$后，即n充分大时，无论n取什么，都有该不等式成立，即趋于A。
• 数列的变化过程只有$n\to +\infty$，一般记作$n\to \infty$
• 只需要在$n>N$后的所有项满足该不等式即可，无需全部项满足该式子。因此，可适当忽略前面的项，或者说对n加以限制。
• 注意,$ϵ$是任意小的正数，不是某一个很小的正数，它与N的取值有关。

这就是数列极限的$"ϵ-N"$定义。

极限的情形

之前介绍了数列极限的定义，但数列的变化过程十分简单，而函数的变化过程则多一些。

函数的变化过程

说到函数的变化过程，就该注意函数可以从左右两边分别趋于某个常数，或者同时趋于某个常数。
因此函数极限有双侧极限和单侧极限。

双侧极限

双侧极限就是从函数两侧同时趋于某个常数的极限。
分为x趋于常数的极限，以及x趋于无穷的极限。
分别写作：$x\to x_0$、$x\to \infty$。
$x\to x_0$表示函数可以从$x_0$左右两侧同时趋于一个常数。
$x\to \infty$表示x同时趋于正无穷和负无穷，也就是坐标轴两侧。
看一些具体的例子：
${\lim }_{x\to 0}x=0$
${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$

单侧极限

单侧极限就是只从函数某一侧趋向的极限。从左趋向记作$-$,右边则为$+$。其余与双侧极限没有区别。
具体表示如下：
${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$就是从右边趋于$x_0$
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$就是趋于正无穷。

单侧极限和双侧极限的联系

双侧极限存在的充分必要条件是左右单侧极限存在并且趋于同一常数。

函数极限的定义

说了这么多，函数极限又该如何定义呢？
使用的是和数列类似的方法。

趋于常数时的函数极限

若$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,$使得$0<|x-x_0|<\delta$时，有$$|f(x)-A|<ϵ$$恒成立，则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。

理解：

• 趋于常数的函数极限与数列极限的差别就是取得极限的范围变化了，为$x_0$的一个去心领域，换句话说就是x无限趋近$x_0$的时，总有该不等式成立
• 与数列极限一样，只需要在充分接近$x_0$时有该不等式成立即可。因此可以对x的取值加以限制。
• 同样的，$ϵ$是任意小的正数，不是某个很小的确定的正数。
• $ϵ$的取值与$\delta$的取值有关

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