【DP】hihocoder1596 Beautiful Sequence

描述

Consider a positive integer sequence a[1], …, a[n] (n ≥ 3). If for every 2 ≤ i ≤ n-1, a[i-1] + a[i+1] ≥ 2 × a[i] holds, then we say this sequence is beautiful.

Now you have a positive integer sequence b[1], …, b[n]. Please calculate the probability P that the resulting sequence is beautiful after uniformly random shuffling sequence b.

You’re only required to output (P × (n!)) mod 1000000007. (Obviously P × (n!) is an integer)

---

分析

答案其实求的就是合法的方案总数，
考虑它的限定条件： a[i−1]+a[i+1]≥2∗a[i]
用图像来表示这个数列：

很容易发现，一旦存在一个波峰：
那么 a[i]>a[i−1],a[i]>a[i+1],即a[i]∗2>a[i−1]+a[i+1] ，一定矛盾
因此，不可能存在波峰情况。

因此，这个数列的图像的大致趋势就可以确定了：

（图中的波谷可能在边界，此时就是一个递增/递减的序列了）

基于这种情况，我们就可以通过DP来解决问题了：
首先将b数组排序，再将其分成两组，
我们设dp[i][j][k][l]表示：
最大值所在的序列最大的数为 bi
最大值不在的序列最大的数为 bj
最大值所在的序列次大的数为 bk
最大值不在的序列次大的数为 bl

转移方程就很好想了：
枚举每一个状态，向其中加入 bi+1

dp[i+1][j][i][l]+=dp[i][j][k][l]

dp[i+1][i][j][k]+=dp[i][j][k][l]

注意：最小值不参与这些计算。

答案就是

∑0＜j＜n,0＜k<n，0<l<jdp[n][j][k][l]

不用特别判断 j=k 等非法的情况，因为那些情况中dp值一定为0

因为最小值的取值是任意的，所以设有 K 个最小值，
那么答案就得再乘上 K！

初始状态 dp[1][1][0][0]=1 ，这个状态有点非法，但综合一下我考场上的几种写法，这样做相对来说后面好写一点。
因此，在转移的时候就要特别考虑到从边界转移的问题，所以要加几个恶心的max，来保证初始状态能够转移出去。

---

当时那场hihocoder我就是做了这道垃圾水题，就进了前20，拿了一个滴滴出行的玩偶。
第一次网赛拿奖品，还是挺开心的。这道题我当时调了很久，考试结束前18分钟才做出来（蒟蒻属性暴露无遗），最后半个小时的时候，真心觉得调不出来了，但想了想还是拼了一下，居然过了。不到最后一刻真不能认怂啊。

#include
#include
#include
#include
#define SF scanf
#define PF printf
using namespace std;
void Read(int &x){
    char c;
    bool flag=0;
    while(c=getchar(),c!=EOF&&(c<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-'){ c=getchar();flag=1;}
    x=c-'0';
    while(c=getchar(),c!=EOF&&c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';
    if(flag)x=-x;
} 

#define MAXN 65
#define MOD 1000000007
long long dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
int n,k,tot;
long long a[MAXN],b[MAXN];
long long jc(long long x){
    long long res=1;
    while(x){
        res*=x;
        res%=MOD;
        x--;
    }
    return res%MOD;
}
int main(){
    Read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        SF("%lld",&b[i]);
    sort(b+1,b+1+n);
    int st=1;
    for(;b[st]==b[1]&&st<=n;st++);
    a[1]=b[1];
    for(int i=2;i<=n-st+2;i++)
        a[i]=b[st+i-2];
    if(st>n){
        PF("%lld",jc(st-1));
        return 0;
    }
    n=n-st+2;
    dp[1][1][0][0]=1;
    for(int i=1;ifor(int j=1;j2,i);j++)
            for(int k=0;k1,i);k++)
                for(int l=0;l1,j);l++){
                    if((a[i+1]>=2*a[i]-a[k])||k==0){
                        dp[i+1][j][i][l]+=dp[i][j][k][l];
                        dp[i+1][j][i][l]%=MOD;  
                    }
                    if((a[i+1]>=2*a[j]-a[l])||l==0){
                        dp[i+1][i][j][k]+=dp[i][j][k][l];
                        dp[i+1][i][j][k]%=MOD;
                    }
                }
    /*for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            for(int k=0;k<=i;k++)
                for(int l=0;l<=j;l++)
                    PF("(%lld %d %d %d %d)\n",dp[i][j][k][l],i,j,k,l);*/
    long long ans=0;
    for(int i=0;ifor(int k=0;kfor(int l=0;l1,i);l++){
                ans+=dp[n][i][k][l];
                ans%=MOD;   
            }
    PF("%lld",(ans*jc(st-1))%MOD);
}