SPFA详解
引子
定义
SPFA是Shortest Path Faster Algorithm,是Bellman-Ford算法的改进版。和其他最短路算法一样，都是以松弛操作的三角形不等式为基础操作的。
优点
SPFA算法用途广，适应负权，还能判断正环和负环……在差分约束建模中也有重大用处……SPFA是个好东西
SPFA的实现
spfa有两种实现方式，一种是栈实现，一种是队列实现。
在有负环的情况下，栈比队列更快，但是如果没有负环的一般情况下，队列更快。
栈实现
用栈实现的spfa实际上跟dfs很像，实际上也可以说就是dfs。采用邻接表可以很好的实现，时间复杂度O(ne)。
队列实现
先把源点进队，然后用源点扩展更新，能迭代的都进队……
就是用队列里的点去迭代其他点，被迭代的点再次进队。
时间复杂度O(ne)
SPFA的应用
spfa在noip中通常用于求最短路/判负环。求最短路，spfa相比Dijkstra、Bellman-Ford等算法有着优秀的时间复杂度和剪枝，还有自己的特色：可以判负环。因为有可以判负环的性质，一般还用在差分约束系统建模后的一些判断工作。
求最短路
单源最短路径模板题
这道题目n数据量10000，m数据量500000，明显floyd超时超空间，Dijkstra也超时。
所以我们用了spfa：
#includeif(vis[a[i].order]==false)
{
vis[a[i].order]=true;
tail++;
q[tail]=a[i].order;
}
}
vis[q[head]]=false;
}
}
int main()
{
init();
SPFA();
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
return 0;
} 判断负环
负环模板题
这道题目是板子题啊，我们直接上dfs_spfa！
#includeint to=G[u][i].to;//是这条边对面的点
if(dis[u]+G[u][i].valif(vis[to])
{
flag=true;
return ;
}
else
{
spfa(to);
}
}
}
vis[u]=false;
}
int main()
{
t=read();
while(t--)
{
init();
flag=false;
dis[1]=0;
spfa(1);
if(flag)
{
printf("YE5\n");
}
else
{
printf("N0\n");
}
}
return 0;
} 但是可惜啊！tle3个点，O-2优化开了也没用！
我们需要思考下dfs_spfa的优化了！
判断负环的优化
既然我们只需要判断负环，那么就相当于我们需要找到一条权值和为负的回路。
既然我们只需要找到权值和为负的回路，那不妨使距离数组dis初始化为0。
这样处理后，第一次拓展只会拓展到与起点相连边权为负的边。
那么我们就分别枚举所有的点作为起点，如果已经找到一个负环就不再继续枚举。
根据SPFA，我们找到的负环一定包含当前枚举的这个点。
算法期望复杂度O(m)。
#includeif(flag)return;
int to=G[u][i].to;
if(dis[u]+G[u][i].valif(vis[to])
{
flag=true;
return ;
}
else
{
spfa(to);
}
}
}
vis[u]=false;
}
int main()
{
t=read();
while(t--)
{
init();
flag=false;
dis[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
spfa(i);//枚举每一个点
if(flag)break;
}
if(flag)
{
printf("YE5\n");
}
else
{
printf("N0\n");
}
}
return 0;
} 原来的程序运行时间是5112ms，优化后的程序运行时间312ms……
差分约束系统
我们在差分约束题目中会得出一系列代数约束关系，例如x≥y等，我们这时候可以通过这些约束关系建立有向图，然后利用spfa来判断最值、是否存在解或者有无穷多的解。
详见：差分约束详解by柴犬首相