Devu and Flowers(母函数\生成函数-二进制枚举)(Codeforces Round #258-Div. 2-451E)

题目

$Devu$ 想用花去装饰他的花园，他已经购买了$n$个箱子，第$i$个箱子有$f_i$朵花，在同一个的箱子里的所有花是同种颜色的（所以它们没有任何其他特征）。另外，不存在两个箱子中的花是相同颜色的。 现在 $Devu$ 想从这些箱子里选择$s$朵花去装饰他的花园， $Devu$ 想要知道，总共有多少种方式从这些箱子里取出这么多的花？因为结果有可能会很大，结果需要对 $10^9+7$ 取模。 $Devu$ 认为至少有一个箱子中选择的花的数量不同才是两种不同的方案。
输入：
第一行：$n,s$
第二行：$f_1,f_2,...,f_n$
数据范围：$1\le n\le 20,0\le s\le 10^{14},0\le f_i\le 10^{12}$

思路

我们考虑对于第 $i$ 种花的生成函数：
$$F_i(x)=1+x+x^2+...+x^{f_i}=\frac{1-x^{f_i+1}}{1-x}$$
那么考虑总方案数的生成函数：
$$G(x)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x)=\prod _{i=1}^n\frac{1-x^{f_i+1}}{1-x}=\frac{{\prod }_{i=1}^n(1-x^{f_i+1})}{(1-x{)}^n}$$
然后就套路一波，因为：
$H(x)=1+x+x^2+...=\frac{1}{1-x}$
所以:
$$G(x)=(\prod _{i=1}^n(1-x^{f_i+1}))\ast (1+x+x^2+...{)}^n$$
那我们要求 $G(x)$ 第 $s$ 项的系数 $a_s$
我们发现右边就是不定方程的非负整数解方案数,$g_i=C_{i+n-1}^n$
左边由于 $n$ 很小，所以考虑二进制枚举
我们记左边枚举所得结果为：$c{x}^p$那么右边应为$g_{s-p}$
那么
$$Ans=\sum ^{S}c{x}^p\ast g_{s-p}$$
$g_i$用$Lucas$定理计算即可

代码

#include
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#include
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#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
LL read(){
	LL f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return f*x;
}
#define MAXN 20
#define Mod (LL)(1e9+7)
#define INF 0x3f3f3f3f
LL f[MAXN+5];
LL Pow(LL x,LL y){
	LL ret=1;
	while(y){
		if(y&1) ret=ret*x%Mod;
		x=x*x%Mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
LL Lucas(LL n,LL m){
	m=min(m,n-m);
	LL ret=1;
	while(n&&m){
		LL a=1,b=1,n0=n%Mod,m0=m%Mod;
		for(LL i=n0;i>=n0-m0+1;i--) a=a*i%Mod;
		for(LL i=1;i<=m0;i++) b=b*i%Mod;
		ret=ret*a%Mod*Pow(b,Mod-2)%Mod;
		n/=Mod,m/=Mod;
	}
	return ret;
}
int main(){
	int n=read();
	LL ans=0,s=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=read();
	for(int S=0;S<(1<<n);S++){
		LL cnt=s,sign=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(S&(1<<(i-1)))
				cnt-=f[i]+1,sign=-sign;
		if(cnt<0) continue;
		ans=(ans+sign*Lucas(n+cnt-1,n-1)%Mod)%Mod;
	}
	printf("%lld\n",(ans+Mod)%Mod);
	return 0;
}