[CF451E]Devu and Flowers

451E:Devu and Flowers

题意简述

求 ∑ni=1xi=s 的整数解的个数。
其中 xi∈[0,fi]
输出答案对 109+7 取模的结果

数据范围

1≤n≤20
1≤s≤1014
1≤fi≤1012

思路

容斥原理。
首先假设如果所有的 fi 都没有限制的情况。
根据无限多重集合的组合数那么答案即为 Csn+s−1
我们需要从这个答案中减去不合法的情况。
不合法的情况即为 xi>fi 的情况。
设 Ai 为 xi>fi 的方案。
|Ai|=Cs−(fi+1)n+s−1−(fi+1)
相当于我们预先放好这 fi+1 个元素。
同理 |Ai⋂Aj|=Cs−(fi+1)−(fj+1)n+s−1−(fi+1)−(fj+1)
根据容斥原理答案即为
Csn+s−1−∑1≤i≤n|Ai|+∑1≤i<j≤n|Ai⋂Aj|−... (省略)

我们可以通过状态压缩表示每个状态。
预处理每个状态需要预先放好几个元素。
最后一遍扫描来统计答案。
时间复杂度 O(2nn)

代码

#include
using namespace std;
const int p=1000000007;
int n,lim;
int num[1100000];
long long s,ans;
long long f[30],inv[30],sum[1100000];
long long comb(long long n,long long m)
{
    if (m<0)
        return 0;
    long long ret=1;
    for (long long i=m+1;i<=n;i++)
        ret=ret*(i%p)%p;
    for (int i=1;i<=n-m;i++)
        ret=ret*inv[i]%p;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%I64d",&n,&s);
    for (int i=0;iscanf("%I64d",&f[i]);
    inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=n+1;i++)
        inv[i]=(inv[p%i]*(p-p/i))%p;
    lim=(1<1;
    for (int i=0;i<=lim;i++)
        for (int j=0;jif (i&(1<1;
                num[i]++;
            }
    for (int i=0;i<=lim;i++)
        if (num[i]%2)
            ans=(ans-comb(s+n-1-sum[i],s-sum[i])+p)%p;
        else
            ans=(ans+comb(s+n-1-sum[i],s-sum[i]))%p;
    printf("%I64d",ans);

}