CodeForces 286 E.Ladies' Shop(生成函数+FFT)

Description

给出 n 个不同的数 a1,...,an ,现在要求从这 n 个数中选出最少的数字,使得其满足每一个 ai 都可以通过从中选取任意数字(每种数字可以选任意个)组成,且从中取任意数字,只要其和不超过 m ,那么其和必然在之前的 n 个数里出现过

Input

第一行两个整数 n,m ,之后输入 n 个正整数 a1,...,an (1n,m106,1a1<a2<...<anm)

Output

如果存在合法方案则输出 YES 并输出选出数集,否则输出 NO

Sample Input

6 10
5 6 7 8 9 10

Sample Output

YES
5
5 6 7 8 9

Solution

显然如果有解那么 ai 的任意整数倍(值不超过 m )都在 A={a1,a2,...,an} 中,这个不满足则无解

如果一个数字可以被 A 中一些数字线性组合得到,即 c=i=1nxiai,xi0 ,由于 xiaiA,xi>0 ,故 c 必然可以是 A 中一些数字的和,且由条件,几个数字的和也在 A 中,故 c 必然可以可以表示成 A 中两个数的和

进而判断是否有解就很简单了,只需要知道 A 是否对加法封闭即可

f(x)=1+xai ,令 g(x)=f2(x) ,对于 1cm ,则 [xc]g(x) 含义即为从 A{0} 选出两个数字 a,b 满足 a+b=c 的方案数 2

如果 [xc]g(x)0 [xc]f(x)=0 ,说明运算不封闭,无解

如果 [xc]g(x)=0 则不用考虑 c

故只需考虑 [xc]g(x)0 [xc]f(x)0 的情况来找出所选数字最少个数

如果 [xc]g(x)=2 ,在尚有解的情况下, c 的表示只能是 0+c ,故 c 必须选,否则 c 无法被表示

如果 [xc]g(x)>2 ,说明存在 a,bA 满足 a+b=c ,先前所选数字集已经可以表示出 a,b ,故必然也可以表示出 c c 不用选

Code

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
#define maxfft 1048576+5
const double pi=acos(-1.0);
struct cp
{
    double a,b;
    cp operator +(const cp &o)const {return (cp){a+o.a,b+o.b};}
    cp operator -(const cp &o)const {return (cp){a-o.a,b-o.b};}
    cp operator *(const cp &o)const {return (cp){a*o.a-b*o.b,b*o.a+a*o.b};}
    cp operator *(const double &o)const {return (cp){a*o,b*o};}
    cp operator !() const{return (cp){a,-b};}
}w[maxfft];
int pos[maxfft];
void fft_init(int len)
{
    int j=0;
    while((1<for(int i=0;i>1]>>1|((i&1)<void fft(cp *x,int len,int sta)
{
    for(int i=0;iif(i0]=(cp){1,0};
    for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
    {
        cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
        for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
        for(int j=1;j>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
        for(int j=0;j>1);
            for(int l=0;l>1;l++)
            {
                cp o=b[l]*w[l];
                b[l]=a[l]-o;
                a[l]=a[l]+o;
            }
        }
    }
    if(sta==-1)for(int i=0;ivoid FFT(int *a,int n,int *c)
{
    int len=1;
    while(len1;
    fft_init(len);
    for(int i=n/2;i0;
    for(int i=0;i1?x[i>>1].b:x[i>>1].a)=a[i];
    fft(x,len,1);
    for(int i=0;i2;i++)
    {
        int j=len-1&len-i;
        z[i]=x[i]*x[i]-(x[i]-!x[j])*(x[i]-!x[j])*(w[i]+(cp){1,0})*0.25;
    }
    for(int i=len/2;iint j=len-1&len-i;
        z[i]=x[i]*x[i]-(x[i]-!x[j])*(x[i]-!x[j])*((cp){1,0}-w[i^len>>1])*0.25;
    }
    fft(z,len,-1);
    for(int i=0;iif(i&1)c[i]=(int)(z[i>>1].b+0.5);
        else c[i]=(int)(z[i>>1].a+0.5);
}
int n,m,f[maxfft],g[maxfft],ans[maxfft];
bool check()
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(f[i])
            for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
                if(!f[j])return 0;
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        f[a]=1;
    } 
    if(check())
    {
        f[0]=1;
        FFT(f,m+1,g);
        int res=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            if(g[i]==2)ans[res++]=i;
            if(!f[i]&&g[i])
            {
                res=-1;
                break;
            }
        }
        if(res==-1)printf("NO\n");
        else
        {
            printf("YES\n");
            printf("%d\n",res);
            for(int i=0;iprintf("%d%c",ans[i],i==res-1?'\n':' ');
        }
    }
    else printf("NO\n"); 
    return 0;
}

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