CodeForces 286 E.Ladies' Shop（生成函数+FFT）
Description
给出 n 个不同的数 a1,...,an ，现在要求从这 n 个数中选出最少的数字，使得其满足每一个 ai 都可以通过从中选取任意数字（每种数字可以选任意个）组成，且从中取任意数字，只要其和不超过 m ，那么其和必然在之前的 n 个数里出现过
Input
第一行两个整数 n,m ，之后输入 n 个正整数 a1,...,an (1≤n,m≤106,1≤a1<a2<...<an≤m)
Output
如果存在合法方案则输出 YES 并输出选出数集，否则输出 NO
Sample Input
6 10
5 6 7 8 9 10
Sample Output
YES
5
5 6 7 8 9
Solution
显然如果有解那么 ai 的任意整数倍（值不超过 m ）都在 A={a1,a2,...,an} 中，这个不满足则无解
如果一个数字可以被 A 中一些数字线性组合得到，即 c=∑i=1nxiai,xi≥0 ，由于 xiai∈A,xi>0 ，故 c 必然可以是 A 中一些数字的和，且由条件，几个数字的和也在 A 中，故 c 必然可以可以表示成 A 中两个数的和
进而判断是否有解就很简单了，只需要知道 A 是否对加法封闭即可
令 f(x)=1+∑xai ，令 g(x)=f2(x) ，对于 1≤c≤m ，则 [xc]g(x) 含义即为从 A∪{0} 选出两个数字 a,b 满足 a+b=c 的方案数 ⋅2
如果 [xc]g(x)≠0 且 [xc]f(x)=0 ，说明运算不封闭，无解
如果 [xc]g(x)=0 则不用考虑 c
故只需考虑 [xc]g(x)≠0 且 [xc]f(x)≠0 的情况来找出所选数字最少个数
如果 [xc]g(x)=2 ，在尚有解的情况下， c 的表示只能是 0+c ，故 c 必须选，否则 c 无法被表示
如果 [xc]g(x)>2 ，说明存在 a,b∈A 满足 a+b=c ，先前所选数字集已经可以表示出 a,b ，故必然也可以表示出 c ， c 不用选
Code
#includefor(int i=0;i>1]>>1|((i&1)<void fft(cp *x,int len,int sta)
{
for(int i=0;iif(i0]=(cp){1,0};
for(unsigned i=2;i<=len;i<<=1)
{
cp g=(cp){cos(2*pi/i),sin(2*pi/i)*sta};
for(int j=i>>1;j>=0;j-=2)w[j]=w[j>>1];
for(int j=1;j>1;j+=2)w[j]=w[j-1]*g;
for(int j=0;j>1);
for(int l=0;l>1;l++)
{
cp o=b[l]*w[l];
b[l]=a[l]-o;
a[l]=a[l]+o;
}
}
}
if(sta==-1)for(int i=0;ivoid FFT(int *a,int n,int *c)
{
int len=1;
while(len1;
fft_init(len);
for(int i=n/2;i0;
for(int i=0;i1?x[i>>1].b:x[i>>1].a)=a[i];
fft(x,len,1);
for(int i=0;i2;i++)
{
int j=len-1&len-i;
z[i]=x[i]*x[i]-(x[i]-!x[j])*(x[i]-!x[j])*(w[i]+(cp){1,0})*0.25;
}
for(int i=len/2;iint j=len-1&len-i;
z[i]=x[i]*x[i]-(x[i]-!x[j])*(x[i]-!x[j])*((cp){1,0}-w[i^len>>1])*0.25;
}
fft(z,len,-1);
for(int i=0;iif(i&1)c[i]=(int)(z[i>>1].b+0.5);
else c[i]=(int)(z[i>>1].a+0.5);
}
int n,m,f[maxfft],g[maxfft],ans[maxfft];
bool check()
{
for(int i=1;i<=m;i++)
if(f[i])
for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
if(!f[j])return 0;
return 1;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a;
scanf("%d",&a);
f[a]=1;
}
if(check())
{
f[0]=1;
FFT(f,m+1,g);
int res=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(g[i]==2)ans[res++]=i;
if(!f[i]&&g[i])
{
res=-1;
break;
}
}
if(res==-1)printf("NO\n");
else
{
printf("YES\n");
printf("%d\n",res);
for(int i=0;iprintf("%d%c",ans[i],i==res-1?'\n':' ');
}
}
else printf("NO\n");
return 0;
}