Codeforces 891E Lust 生成函数

题意

现在给你一有n个整数的序列a[]，有一个初始为0的值res，重复下面的过程k次：
“随机选择一个[1,n]之间的下标x，res加上所有满足i≠x的a[i]的乘积，然后将a[x]减去1”
问最后res的期望值，对10^9+7取模
n<=5000
k<=10^9

分析

我们把对a[x]的一次操作的贡献看成是

∏a[i]−∏a′[i] ∏ a [ i ] − ∏ a ′ [ i ]

其中 a′[i] a ′ [ i ] 表示将 a[x] a [ x ] 减去1后的数组。
不难发现通过连续的操作后，剩下的项就只剩下

∏a[i]−∏(a[i]−b[i]) ∏ a [ i ] − ∏ ( a [ i ] − b [ i ] )

其中 b[i] b [ i ] 表示 a[i] a [ i ] 被操作的次数。那么我们要求的就是上述式子的期望。
左边的式子显然是常数，那么只考虑右边的式子。
对于b是数组的每一种取值，对答案的贡献显然是

k!∏(a[i]−b[i])nk∏(b[i])! k ! ∏ ( a [ i ] − b [ i ] ) n k ∏ ( b [ i ] ) !

设生成函数 fi(x) f i ( x ) 表示 b[i] b [ i ] 取每一种值时对答案的贡献，显然有

fi(x)=∑j>=0(a[i]−j)xjj! f i ( x ) = ∑ j >= 0 ( a [ i ] − j ) x j j !

化简后得

fi(x)=(a[i]−x)ex f i ( x ) = ( a [ i ] − x ) e x

那么我们要求的答案就是多项式 enx∏(a[i]−x) e n x ∏ ( a [ i ] − x ) 的第k项系数。
右边可以暴力卷积，显然次数为n，左边展开后可以得到

enx=∑i>=0(nx)ii! e n x = ∑ i >= 0 ( n x ) i i !

然后继续暴力卷积即可。
时间复杂度 O(n2) O ( n 2 )

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=5005;
const int MOD=1000000007;

int n,f[N],k;

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

int dwm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y--)
    {
        ans=(LL)ans*x%MOD;
        x--;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0]=1;int s=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;scanf("%d",&a);
        s=(LL)s*a%MOD;
        for (int j=i;j>=1;j--) f[j]=((LL)f[j]*a%MOD+MOD-f[j-1])%MOD;
        f[0]=(LL)f[0]*a%MOD;
    }
    int ans=0;
    for (int i=0;i<=min(n,k);i++) (ans+=(LL)ksm(n,k-i)*dwm(k,i)%MOD*f[i]%MOD)%=MOD;
    ans=(LL)ans*ksm(n,(LL)k*(MOD-2)%(MOD-1))%MOD;
    ans=(s+MOD-ans)%MOD;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}