动态规划解最长公共子序列(LCS)问题 (附可打印LCS完整代码)

一、动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

    为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

二、问题：求两字符序列的最长公共字符子序列（LCS）

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

三、分析

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

四、求解

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：（我觉得箭头反过来看要好理解些）

五、完整算法实现

#include
using namespace std;
const int MAXSTRLEN = 1000;

char a[MAXSTRLEN], b[MAXSTRLEN];
int dp[MAXSTRLEN][MAXSTRLEN], path[MAXSTRLEN][MAXSTRLEN];

///求序列x和y的LCS，path保存路径指向，以方便打印公共子序列
int Lcs(char x[], char y[])
{
	int i, j, len1 = strlen(x + 1), len2 = strlen(y + 1);
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for (i = 1; i <= len1; ++i)
		for (j = 1; j <= len2; ++j)
		{
			if (x[i] == y[j])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1, path[i][j] = 1;
			else if (dp[i - 1][j] >= dp[i][j - 1])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j], path[i][j] = 2;
			else
				dp[i][j] = dp[i][j - 1], path[i][j] = 3;
		}
	return dp[len1][len2];
}

///打印LCS
void PrintLcs(int i, int j)
{
	if (i == 0 || j == 0) return;
	if (path[i][j] == 1)
	{
		PrintLcs(i - 1, j - 1);
		putchar(a[i]);
	}
	else if (path[i][j] == 2) PrintLcs(i - 1, j);
	else PrintLcs(i, j - 1);
}

int main()
{
	while (gets(a + 1))
	{
		gets(b + 1);
		printf("%d\n", Lcs(a, b));
		PrintLcs(strlen(a + 1), strlen(b + 1));
		putchar(10);
	}
	return 0;
}