莫比乌斯反演及的证明与应用

莫比乌斯反演

〇、前置芝士

1、整除分块

问题：洛谷P1403 [AHOI2005]约数研究
题目大意：设$f(x)$为$x$的约数个数，求${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$
题解：从1～$n$中，含有约数$i$的数的个数为$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$，因此$$ans=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$
但我们发现有许多$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$是重复的。设$j=\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }$，即有$j$个数$t$使得$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \le \lfloor \frac{n}{j}\rfloor$，因此对于每个$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$有$(j-i+1)$个重复项。

for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
{
    j=n/(n/i);
    ans+=(n/i)*(j-i+1);
}

2、欧拉函数$\varphi (x)$

定义：1～$x$中与$x$互质数的数量。
公式（后面证）：$\varphi (x)=n{\prod }_{i=1}^k(1-p_i),p_i\in prime,p_i|x.$
性质（后面证）：${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n.$
线性筛法：

int phi[maxn],prime[maxn],num[maxn];
int prime_num;
void cal()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!num[i])
        {
        	//质数只与自身不互质
            prime[++prime_num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=prime_num&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            num[prime[j]*i]=1;
            //含有此质数因子，只改变n的值
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            //二者互质，利用积性函数的性质
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

一、莫比乌斯函数

1、莫比乌斯函数的定义：

• 当n不等于1时，n所有因子的莫比乌斯函数值的和为0。
  即：$$\sum _{d|x}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x=1}\\ 0& \text{x>1}\end{array}$$
• 从通俗上讲，它有如下几个特征：
  1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是正整数
  2）μ(1)=1
  3）当n存在平方因子时，μ(n)=0
  4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
  5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x=1}\\ (-1{)}^k& \text{x=p1p2...pk}\\ 0& \text{其余情况}\end{array}$$

2、程序实现线性筛$\mu$

int prime[maxn],num[maxn],mu[maxn],p_num;
void get_mu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!num[i])
        {
        	//质数的莫比乌斯函数都是-1
            prime[++p_num]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=p_num&&i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            num[i*prime[j]]=1;
            //i中不含有约数prime[j]，质约数个数+1
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            //出现平方因子即为0
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}

二、莫比乌斯函数与容斥定理

1、求欧拉函数

$$\varphi (x)=\sum _{i=1}^x[gcd(i,x)=1]$$

考虑容斥原理。在$x$个数中，要先扣除所有质因数及其倍数。然后我们发现那些两个质因数乘积的倍数被重复扣除，因此要把它们再加回来。紧接着又发现三个质因数乘积的数等于没扣除，又要再次扣除…最后我们发现每个数的容斥系数就是它的莫比乌斯函数！即：
$$\varphi (x)=\sum _{d|x}\mu (d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor$$
$$=n-\sum \frac{n}{p_i}+\sum \frac{n}{p_i{p}_j}-...+(-1{)}^k\sum \frac{n}{p_1{p}_2...p_k}$$
$$=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$$
$$=n\prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$$

2、实战演练：

XMU区预赛选拔 D.塔子哥数数

3、总结

数论中的很多计数问题，当以1为最小元时，容斥系数通常为$(-1{)}^k$；以质数为最小元时，容斥系数通常为莫比乌斯函数。我们就可以通过线性筛莫比乌斯函数来进行容斥简化计算。

三、莫比乌斯反演

1、莫比乌斯反演

• 形式一：
  设有函数$f(x)$与$F(x)$，且有
  $$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$$
  则有：
  $$f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$$
• 形式二：
  设有函数$f(x)$与$F(x)$，且有
  $$F(n)=\sum _{n|d}f(d)$$
  则有：
  $$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$

其中形式一为基本形式，但形式二更为常用。

2、莫比乌斯反演的证明

• 形式一：
  已知：$F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$，则：
  $$\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$$
  $$=\sum _{d|n}\mu (d)\sum _{i|\frac{n}{d}}f(i)$$
  $$=\sum _{d|n}\sum _{i|\frac{n}{d}}\mu (d)f(i)$$
  $$=\sum _{id|n}\mu (d)f(i)$$
  $$=\sum _{i|n}\sum _{d|\frac{n}{i}}\mu (d)f(i)$$
  $$=\sum _{i|n}f(i)\sum _{d|\frac{n}{i}}\mu (d)$$
  由莫比乌斯函数定义，
  ∑ d ∣ n i μ ( d ) = { 1 i=n 0 i<n \sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)= \begin{cases} 1& \text{i=n}\\ 0 & \text{i<n} \end{cases} d∣in​∑​μ(d)={10​i=ni​
  因此

  原式 $=f(n)$

• 形式二：
  已知：$F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$，则：
  $$\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$$
  $$=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})\sum _{d|i}f(i)$$
  $$=\sum _{n|i}f(i)\sum _{n|d,d|i}\mu (\frac{d}{n})$$
  设$k=\frac{d}{n}$。枚举$k$：
  $$=\sum _{n|i}f(i)\sum _{k|\frac{i}{n}}\mu (k)$$
  由莫比乌斯函数定义，

  原式 $=f(n)$

四、莫比乌斯反演的应用

1、证明上文提到的欧拉函数性质

我们由容斥定理得到了$\varphi (x)={\sum }_{d|x}\mu (d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor$。设$F(x)=x$。由莫比乌斯反演的逆过程，有：
$$F(x)=\sum _{d|x}\varphi (x)=x.$$

2、一些题目

1、洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries