最小生成树的唯一性 （次小生成树）

给定一个带权无向图，如果是连通图，则至少存在一棵最小生成树，有时最小生成树并不唯一。本题就要求你计算最小生成树的总权重，并且判断其是否唯一。

输入格式：

首先第一行给出两个整数：无向图中顶点数 N（≤500）和边数 M。随后 M 行，每行给出一条边的两个端点和权重，格式为“顶点1 顶点2 权重”，其中顶点从 1 到N 编号，权重为正整数。题目保证最小生成树的总权重不会超过 2​30​​。

输出格式：

如果存在最小生成树，首先在第一行输出其总权重，第二行输出“Yes”，如果此树唯一，否则输出“No”。如果树不存在，则首先在第一行输出“No MST”，第二行输出图的连通集个数。

输入样例 1：

5 7
1 2 6
5 1 1
2 3 4
3 4 3
4 1 7
2 4 2
4 5 5

输出样例 1：

11
Yes

输入样例 2：

4 5
1 2 1
2 3 1
3 4 2
4 1 2
3 1 3

输出样例 2：

4
No

输入样例 3：

5 5
1 2 1
2 3 1
3 4 2
4 1 2
3 1 3

输出样例 3：

No MST
2

解题思路

检验最小生成树是否唯一，可以求次小生成树，然后看两者是否相等。次小生成树肯定不会和最小生成树的所有边都一样，这是显然的，而且，次小生成树只会有一条边和最小生成树不一样，否则一定能找到另一条小于此生成树的生成树（假设都不相等）。所以次小生成树是在最小生成树的基础上，枚举每一条不属于最小生成树的边，将这条边添加到最小生成树中，此时就会形成一个环，从此环中删除除了你添加的边以外，最大的边，其中最小的生成树，就是此小生成树。因为本题可能出现不连通和重边的情况，所以博主用了kruskal算法。

代码如下

 

#include 
#include 
#include  
#include 
#include 
#define maxn 505
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct Line{
	int l, r, w;
	Line(int l, int r, int w): l(l), r(r), w(w){	}
	bool operator<(const Line& a)const{
		return w < a.w;
	}
};
vector line;
int par[maxn];
int f(int p)
{
	return p == par[p] ? p : par[p] = f(par[p]);
}
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < m; i ++){
		int l, r, w;
		cin >> l >> r >> w;
		line.push_back(Line(l, r, w));
	}
	sort(line.begin(), line.end());
	int sum = 0;   //最小生成树的值 
	int maxd[maxn][maxn] = {0};  //最小生成树中从i到j的边里最大的 
	int cnt = 0;     //添加的边数 
	bool vis[maxn * maxn] = {0}; //边i是否在最小生成树里 
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		par[i] = i;
	for(int i = 0; i < m; i ++){
		int l = f(line[i].l);
		int r = f(line[i].r);
		if(l != r){
			cnt ++;
			vis[i] = true;
			for(int k = 1; k <= n; k ++){   //枚举所有属于集合l的边 
				if(f(k) != l)
					continue;
				for(int j = 1; j <= n; j ++){  //枚举所以属于集合r的边 
					if(f(j) == r){							 //两个集合的点，到另一个集合的所有点都会经边i 
						maxd[k][j] = maxd[j][k] = line[i].w; //且边是递增的，所以两点间的当前最长边就是i 
					}
				}
			}
			sum += line[i].w;
			par[l] = r;
		}
		if(cnt == n - 1)
			break;
	}
	if(cnt != n - 1){
		cout << "No MST" << endl;
		set s;
		for(int i = 1; i <= n; i ++)  //set记录集合数 
			s.insert(f(i));
		cout << s.size() << endl;
	}
	else {
		cout << sum << endl;
		int dis = INF;
		for(int i = 0; i < m; i ++){  //求次小生成树 
			if(!vis[i])          //枚举所有不属于最小生成树的边 
				dis = min(dis, sum + line[i].w - maxd[line[i].l][line[i].r]); //最小生成树+此边-环中最长边 
		}
		if(dis == sum)
			cout << "No" << endl;
		else
			cout << "Yes" << endl;
	}
	return 0;
}