剑指offer19：正则表达式匹配问题——递归与动态规划两种解法

问题描述

请实现一个函数用来匹配包括‘.’和‘*’的正则表达式。模式中的字符‘.’表示任意一个字符，而‘*’表示它前面的字符可以出现任意次（包含0次）。在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串"aaa"与模式"a.a"和"ab*ac*a"匹配，但是与"aa.a"和"ab\*a"均不匹配。

分析

每次从字符串里取出一个字符与模式中的字符匹配，如果模式中的字符是‘.’，它可以匹配字符串中的任意字符，如果不是，那么如果它与字符串中的字符相等则匹配。当字符串的字符和模式的字符匹配时，接着匹配后面的字符。
下面，考虑模式中的第二个字符是不是‘*’。如果不是，则可以分为两种情况：

1. 如果字符串中的第一个字符和模式中的第一个字符相匹配，那么字符串和模式都后移一个字符，然后匹配剩余的字符串和模式；
2. 如果字符串中的第一个字符和模式中的第一个字符不匹配，则直接返回false。

当模式中的第二个字符是‘*’时，又可以分为两种情况方式：

1. 如果模式中的第一个字符和字符串中的第一个字符不匹配，则在模式上后移两个字符，相当于忽略‘*’和它前面的字符，因为‘*’可以匹配字符串中的0个字符；
2. 如果模式中的第一个字符和字符串中的第一个字符匹配，则字符串后移一个字符，而在模式上又有两种选择：
   2.1 模式上后移两个字符（例如字符串"ab"和模式"a*ab"匹配到str[0]和pattern[0]时，模式后移两个字符，字符串后移一个字符），这一种状态等效于1的情况，可以忽略；
   2.2 模式保持不变（例如字符串"aabbba"和模式"aab*a"匹配到str[2]和pattern[2]时，模式保持不变，字符串后移一个字符）。

求解

递归方法

根据上一节的分析很容易写出递归方式的代码：

public static boolean match(char[] str, char[] pattern) {
	if (str == null || pattern == null) {
		return false;
	}
	return matchCore(str, pattern, 0, 0);
}

private static boolean matchCore(char[] str, char[] pattern, int i, int j) {
    //如果模式先遍历完，则一定不匹配；如果同时遍历完，则一定匹配；
	if (j == pattern.length) {
		return i == str.length;
	}
	//注意防止数组索引OutOfBounds;
	if (j < pattern.length - 1 && pattern[j + 1] == '*') {
	        //如果模式下一个为'*'，且当前匹配；
			if (i < str.length && (str[i] == pattern[j] || (pattern[j] == '.'))) {
			//模式后移两位，或者模式不变，字符串后移一位；
			return matchCore(str, pattern, i, j + 2) || matchCore(str, pattern, i + 1, j);
		} else {
		    //当前不匹配，模式后移两位；
			return matchCore(str, pattern, i, j + 2);
		}
	}
	//模式下一个不为'*'，且当前匹配，则往后匹配；
	if (str.length != i && (str[i] == pattern[j] || pattern[j] == '.')) {
		return matchCore(str, pattern, i + 1, j + 1);
	}
	return false;
}

动态规划

根据前一小节的递归解法，我们可以分析出动态规划解法。首先看递归代码中的matchCore(str, pattern, i + 1, j + 1)，其表示整体是否匹配要看下一步是否匹配，递归的过程其实是一种倒序遍历的方式。如果转换成动态规划的思想，并采用顺序遍历的方式，即当前状态是否匹配受上一个状态的影响，上面的代码等效于状态转移方程$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$，因此需要建立动态数组boolean dp[str.length+1][pattern.length+1]，字符串和模式中的字符都从1开始编号，并赋初始值dp[0][0] == true，表示字符串和模式首端的空字符已匹配。
接下来，分别遍历字符串和模式，检验模式的上一个字符是否为‘*’，若是，则：

1. 如果模式‘*’前一位字符与字符串的上个字符匹配，则跳过该‘*’以及它的前一位字符，或者继续看字符串该字符的前一位字符，即$dp[i][j]=dp[i][j-2]||dp[i-1][j]$;
2. 如果不匹配，则跳过该‘*’以及它的前一位字符，即$dp[i][j]=dp[i][j-2]$.

若模式的上一个字符不是‘*’，且与字符串的上个字符匹配，则$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]$.

因此，可以写出如下代码：

public static boolean matchDP(char[] str, char[] pattern) {
	if (str == null || pattern == null) {
		return false;
	}
	boolean[][] dp = new boolean[str.length + 1][pattern.length + 1];
	dp[0][0] = true;
	for (int i = 0; i <= str.length; i++) {
		for (int j = 1; j <= pattern.length; j++) {
			if (j > 1 && pattern[j - 1] == '*') {
				if (i > 0 && (str[i - 1] == pattern[j - 2] || pattern[j - 2] == '.')) {
				    //模式的'*'前一位字符与字符串的上个字符匹配
					dp[i][j] = dp[i][j - 2] || dp[i - 1][j];
				} else {
				    //模式的'*'前一位字符与字符串的上个字符不匹配
					dp[i][j] = dp[i][j - 2];
				}
			} else if (i > 0 && (str[i - 1] == pattern[j - 1] || pattern[j - 1] == '.')) {
			        //模式的前一位字符与字符串的上个字符匹配
					dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
			}
		}
	}
	return dp[str.length][pattern.length];
}

测试

Main方法及测试用例

public static void main(String[] args) {
		char[] str = { 'a', 'a', 'a' };
		char[] pattern1 = { 'a', '.', 'a' };
		char[] pattern2 = { 'a', 'b', '*', 'a', 'c', '*', 'a' };
		char[] pattern3 = { 'a', 'a', '.', 'a' };
		char[] pattern4 = { 'a', 'b', '*', 'a' };
		//递归方法
		System.out.println(match(str, pattern1));
		System.out.println(match(str, pattern2));
		System.out.println(match(str, pattern3));
		System.out.println(match(str, pattern4));
		//DP方法
        System.out.println(matchDP(str, pattern1));
		System.out.println(matchDP(str, pattern2));
		System.out.println(matchDP(str, pattern3));
		System.out.println(matchDP(str, pattern4));
			
}

输出结果