线段树详解

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查询区间最小值）

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

 #include
 using namespace std;

 const int maxind = 256;
 int segTree[maxind * 4 + 10];
 int array[maxind];
 /* 构造函数，得到线段树 */
 void build(int node, int begin, int end)
 {
     if (begin == end)
         segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */
     else
     {
         /* 递归构造左右子树 */
         build(2*node, begin, (begin+end)/2);
         build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end);

         /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */
         if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])
             segTree[node] = segTree[2 * node];
         else
             segTree[node] = segTree[2 * node + 1];
     }
 }

 int main()
 {
     array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;
     build(1, 0, 5);
     for(int i = 1; i<=20; ++i)
      cout<< "seg"<< i << "=" <
     return 0;
 }

 此build构造成的树如图：

(2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。但并不是所有的提问都这么容易回答，比如[0,3]，就没有哪一个节点记录了这个区间的最小值。当然，解决方法也不难找到：把[0,2]和[3,3]两个区间（它们在整数意义上是相连的两个区间）的最小值“合并”起来，也就是求这两个最小值的最小值，就能求出[0,3]范围的最小值。同理，对于其他询问的区间，也都可以找到若干个相连的区间，合并后可以得到询问的区间。

 int query(int node, int begin, int end, int left, int right)
 {
     int p1, p2;

     /*  查询区间和要求的区间没有交集  */
     if (left > end || right < begin)
         return -1;

     /*  if the current interval is included in  */
     /*  the query interval return segTree[node]  */
     if (begin >= left && end <= right)
         return segTree[node];

     /*  compute the minimum position in the  */
     /*  left and right part of the interval  */
     p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right);
     p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);

     /*  return the expect value  */
     if (p1 == -1)
         return p2;
     if (p2 == -1)
         return p1;
     if (p1 <= p2)
         return  p1;
     return  p2;
 }

可见，这样的过程一定选出了尽量少的区间，它们相连后正好涵盖了整个[left,right]，没有重复也没有遗漏。同时，考虑到线段树上每层的节点最多会被选取2个，一共选取的节点数也是O(log n)的，因此查询的时间复杂度也是O(log n)。

线段树并不适合所有区间查询情况，它的使用条件是“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”。即问题是可以被分解解决的。

(3)：区间或节点的更新 及 线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

 void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/
 {

     if( begin == end )
     {
         segTree[node] += add;
         return ;
     }
     int m = ( left + right ) >> 1;
     if(ind <= m)
         Updata(node * 2,left, m, ind, add);
     else
         Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);
     /*回溯更新父节点*/
     segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

 }

b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

void Change来自dongxicheng.org

 void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/

 {

   if (a <= p->Left && p->Right <= b)

   /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/

   {

      ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/

      return;

   }

   Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/

   int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点

   if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/

   if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/

   Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/

 }

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题 （见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （见模板2）

(3)：多维空间的动态查询 （见模板3）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

 #include

 using namespace std;

 #define MAXN 100
 #define MAXIND 256 //线段树节点个数

 //构建线段树,目的:得到M数组.
 void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])
 {
     if (b == e)
         M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标
     else
     {
         build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);
         build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);

         if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])
             M[node] = M[2 * node];
         else
             M[node] = M[2 * node + 1];
     }
 }

 //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引
 int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)
 {
     int p1, p2;

     //查询区间和要求的区间没有交集
     if (i > e || j < b)
         return -1;

     if (b >= i && e <= j)
         return M[node];

     p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);
     p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

     //return the position where the overall
     //minimum is
     if (p1 == -1)
         return M[node] = p2;
     if (p2 == -1)
         return M[node] = p1;
     if (A[p1] <= A[p2])
         return M[node] = p1;
     return M[node] = p2;

 }


 int main()
 {
     int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.
     memset(M,-1,sizeof(M));
     int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};
     build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);
     cout<sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<
     return 0;
 }

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题 （此模板查询区间和）

 #include
 #include
 using namespace std;

 #define lson l , m , rt << 1
 #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 #define root 1 , N , 1
 #define LL long long
 const int maxn = 111111;
 LL add[maxn<<2];
 LL sum[maxn<<2];
 void PushUp(int rt) {
     sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
 }
 void PushDown(int rt,int m) {
     if (add[rt]) {
         add[rt<<1] += add[rt];
         add[rt<<1|1] += add[rt];
         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);
         add[rt] = 0;
     }
 }
 void build(int l,int r,int rt) {
     add[rt] = 0;
     if (l == r) {
         scanf("%lld",&sum[rt]);
         return ;
     }
     int m = (l + r) >> 1;
     build(lson);
     build(rson);
     PushUp(rt);
 }
 void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         add[rt] += c;
         sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);
         return ;
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     if (L <= m) update(L , R , c , lson);
     if (m < R) update(L , R , c , rson);
     PushUp(rt);
 }
 LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
     if (L <= l && r <= R) {
         return sum[rt];
     }
     PushDown(rt , r - l + 1);
     int m = (l + r) >> 1;
     LL ret = 0;
     if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
     if (m < R) ret += query(L , R , rson);
     return ret;
 }
 int main() {
     int N , Q;
     scanf("%d%d",&N,&Q);
     build(root);
     while (Q --) {
         char op[2];
         int a , b , c;
         scanf("%s",op);
         if (op[0] == 'Q') {
             scanf("%d%d",&a,&b);
             printf("%lld\n",query(a , b ,root));
         } else {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             update(a , b , c , root);
         }
     }
     return 0;
 }