词法分析程序之正规式转换成NFA

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前言

PS: 鉴于本文对很多童鞋有所帮助，小编于2020/6/7对其回炉重造，在CodeBlocks IDE(采用GCC套装 编译器)中成功编译运行，代码已上传至Github上，童鞋们可在参考文献中找到链接。

本篇是凭借Thompson方法，从而根据正规表达式(正规式)构造对应的NFA(不确定有穷自动机)，其实现语言是C++。基本逻辑如下图所示：

正文

正规式

本篇中，有效的正规式的字母表$\sum =\{a-z,A-Z\}$，辅助字母表${\sum }^{\prime }=\{\ast ,|,(,)\}$。对应的规则：

1. ‘*’：闭包；
2. ‘|’：或；

其实还有连接符号，不过我们平时写正规式时会省略它，但小编在源码中其实加上了就是’+’，参考文献的那个课本用的是’.’。这些算符的优先顺序为先’*’，再’+’，最后’|’。这个优先关系在中缀表达式转后缀表达式的时候会用到。

非法字符与加入连接符

非法字符
评论中曾有童鞋问小编非法字符指的那些，当时文章写得并不清晰。这次，小编将从源码角度解释，非法字符指的便是除字母表与辅助字母表以外的字符，并且源码额外还对括号进行检查。

/**检测输入的正则表达式是否合法
*/
int check_legal(const string check_string)
{
	if (check_character(check_string) && check_parenthesis(check_string))
	{
		return true;
	}
	return false;
}

/**
检查输入的字符是否合适 () * | a~z A~Z
合法返回true,非法返回false
*/
int check_character(const string check_string)
/**检查括号是否匹配
*合法返回true,非法返回false
*/
int check_parenthesis(const string check_string)

加入连接符
这一步主要是为了方便后面的工作（中缀转后缀），将省略的连接符显式加进去。要加的地方如ab 、 *b 、 a( 、 )b 等情况，一次遍历即可完成。

中缀表达式转后缀表达式

这一节的算法，小编特地写了一篇博文帮助理解，童鞋可在参考文献中找到。其实在源码中这块有比较详细的注释，这里要利用上前面说的算符优先关系。

构造NFA

一个NFA M是一个五元组，$M=(K,\sum ,f,S,Z)$。我们目前知道的只有$\sum$有穷字母表，即是正规式的字母表，而其他的像$K$状态集，$f$转移函数，$S$非空初态集，$Z$终态集，就在这一节能够得到。源码实现的方法便是Thompson方法，在参考文献《编译原理》书中第4章能够找到与下面内容一样的解释，不再赘述。
下面的理论光看文字描述可能难以快速理解，小编打算以一个demo并辅助源码来细致讲解，希望能达到过一遍就能上手源码的效果！
Demo
正规式为a(a|b)*，很明显这个简单的正规式包含了所有的辅助字母表的符号（即所有的规则），和字母表里的字母a和b，不过我们不要简单地把它们看成字母a和b，实际上它们可以抽象为两个不同的符号，他们所代表的可以是一类符号，比如是数字或者是英文字母，这取决于我们在源码中把这些符号识别成什么。
首先，介绍一下源码中用到的数据结构：

//NFA的节点，定义成结构体，便于以后扩展
struct state
{
	string StateName;
};

//NFA的边，空转换符用'#'表示
struct edge
{
	state StartState;  
	state EndState;
	char TransSymbol;  //转换符号
};

//NFA单元，一个大的NFA单元可以是由很多小单元通过规则拼接起来
struct cell
{
	edge EdgeSet[MAX];  //这个NFA拥有的边
	int EdgeCount;  //边数
	state StartState;  //开始状态
	state EndState;  //结束状态
};

Thompson原理
方法：将r分解成最基本的子表达式，使用下面的规则1和2为r的每个基本符号（ # 或Σ中的符号）构造NFA。用规则3逐步组合前面构造的NFA，直到获得整个正规表达式的NFA为止。
规则1. 对#, 构造NFA 。

这里 i 是新的开始状态，f是新的接受状态。很明显这个NFA识别{#}。
规则2. 对于Σ中的每个符号a，构造NFA。

同样，i 是新的开始状态， f 是新的接受状态。 这个NFA识别 {a}。
【小编讲解】
规则1和2是NFA构建的基本单元，含有两个状态以及状态转换的边。在源码中实现是如下面代码所示的，会新增两个状态与一条边，状态从new_StateNode函数生成，能够保证全局唯一性；而边则记录转换的符号以及起始状态信息。而最终返回的便是一个包含了新状态节点与边的NFA单元NewCell。

//处理 a
cell do_Cell(char element)
{
	cell NewCell;
	NewCell.EdgeCount = 0;
	edge NewEdge;
	//获得新的新状态节点
	state StartState = new_StateNode();
	state EndState = new_StateNode();
	//构建边
	NewEdge.StartState = StartState;
	NewEdge.EndState = EndState;
	NewEdge.TransSymbol = element;
	//构建单元
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = NewEdge;
	NewCell.StartState = NewCell.EdgeSet[0].StartState;
	NewCell.EndState = NewCell.EdgeSet[0].EndState;//EdgeCount此时为1
	return NewCell;
}

规则3 . 如果N(s) 和 N(t) 是正规表达式s和t的NFA，则：
①对于正规表达式 s | t, 可构造复合的NFA N(s|t):

【小编讲解】
在规则1和2构建好基本的NFA单元后，遇到规则①，我们只需要增添2个状态和4条边，并按照要求连接起来即可，实现如下：

//处理 a|b
cell do_Unite(cell Left, cell Right)
{
	cell NewCell;
	NewCell.EdgeCount = 0;
	edge Edge1, Edge2, Edge3, Edge4;
	//获得新的新状态节点
	state StartState = new_StateNode();  //s
	state EndState = new_StateNode();  //e
	//构建边
	//e1
	Edge1.StartState = StartState;
	Edge1.EndState = Left.EdgeSet[0].StartState;
	Edge1.TransSymbol = '#';  //代表空串
	//e2
	Edge2.StartState = StartState;
	Edge2.EndState = Right.EdgeSet[0].StartState;
	Edge2.TransSymbol = '#';
	//e3
	Edge3.StartState = Left.EdgeSet[Left.EdgeCount - 1].EndState;
	Edge3.EndState = EndState;
	Edge3.TransSymbol = '#';
	//e4
	Edge4.StartState = Right.EdgeSet[Right.EdgeCount - 1].EndState;
	Edge4.EndState = EndState;
	Edge4.TransSymbol = '#';

	//构建单元
	//先将Left和Right的EdgeSet复制到NewCell
	cell_EdgeSet_Copy(NewCell, Left);
	cell_EdgeSet_Copy(NewCell, Right);

	//将新构建的四条边加入EdgeSet
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge1;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge2;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge3;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge4;

	//构建NewCell的起始状态和结束状态
	NewCell.StartState = StartState;
	NewCell.EndState = EndState;

	return NewCell;
}

②对于正规表达式 st, 可构造复合的NFA N(st)：

【小编讲解】
规则②并不需要新增边和状态，而是在已有的NFA单元上修改，把N(s)的终止状态与N(t)的起始状态合并，源码实现中是保留了N(s)的终止节点而删掉N(t)的起始节点，然后把N(t)与起始节点有关的边都要修改，代码如下：

//处理 ab
cell do_Join(cell Left, cell Right)
{
	//将Left的结束状态和Right的开始状态合并，将Right的边复制给Left，将Left返回
	//将Right中所有以StartState开头的边全部修改
	for (int i = 0; i<Right.EdgeCount; i++)
	{
		if (Right.EdgeSet[i].StartState.StateName.compare(Right.StartState.StateName) == 0)
		{
			Right.EdgeSet[i].StartState = Left.EndState;  //该边e1的开始状态就是N(t)的起始状态
			STATE_NUM--;
		}
		else if (Right.EdgeSet[i].EndState.StateName.compare(Right.StartState.StateName) == 0)
		{
			Right.EdgeSet[i].EndState = Left.EndState;  //该边e2的结束状态就是N(t)的起始状态
			STATE_NUM--;
		}
	}
	Right.StartState = Left.EndState;

	cell_EdgeSet_Copy(Left, Right);
	//将Left的结束状态更新为Right的结束状态
	Left.EndState = Right.EndState;
	return Left;
}

③对于正规表达式 s, 构造复合的NFA N(s)*

【小编讲解】
规则③要新增4条边与两个状态，图示与代码可以一一对照。

//处理 a*
cell do_Star(cell Cell)
{
	cell NewCell;
	NewCell.EdgeCount = 0;
	edge Edge1, Edge2, Edge3, Edge4;
	//获得新的新状态节点
	state StartState = new_StateNode();  //s
	state EndState = new_StateNode();  //e
	//构建边
	//e1
	Edge1.StartState = StartState;
	Edge1.EndState = EndState;
	Edge1.TransSymbol = '#';  //闭包取空串
	//e2
	Edge2.StartState = Cell.EndState;
	Edge2.EndState = Cell.StartState;
	Edge2.TransSymbol = '#';  //取字符，自连接
	//e3
	Edge3.StartState = StartState;
	Edge3.EndState = Cell.StartState;
	Edge3.TransSymbol = '#';
	//e4
	Edge4.StartState = Cell.EndState;
	Edge4.EndState = EndState;
	Edge4.TransSymbol = '#';
	//构建单元
	//先将Cell的EdgeSet复制到NewCell
	cell_EdgeSet_Copy(NewCell, Cell);
	//将新构建的四条边加入EdgeSet
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge1;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge2;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge3;
	NewCell.EdgeSet[NewCell.EdgeCount++] = Edge4;
	//构建NewCell的启示状态和结束状态
	NewCell.StartState = StartState;
	NewCell.EndState = EndState;

	return NewCell;
}

④对于括起来的正规表达式 (s), 使用N (s) 本身作为它的NFA。
在构造过程中，每次构造的新状态都要赋予不同的名字。这样，任何NFA的两个状态都具有不同的名字。即使同一符号在r中出现多次，我们也要为该符号的每个实例创建一个独立的带有自己状态的NFA。

测试案例

两个正规式：

1. a(a|b)*也是构造NFA一节中的demo
2. bb*更简单的例子

Console控制台程序结果图

对应的NFA图示

结语

编译原理的相关算法难在理论，这是小编再本科二年级的项目，距今过去了4年，其实没怎么用到过相关知识点，不过要深入一门编程语言的编译器源码看看，那这些知识还是必不可少的。另外，我们常用的正则表达式底层用到的便是这个算法，我们构造好NFA，又该如何使用它，这都是值得进一步探讨的问题。

参考文献

1. https://github.com/Ggmatch/The-principle-of-compiling/tree/master/NFA
2. 张素琴. 《编译原理》第二版
3. 中缀转后缀：https://blog.csdn.net/gongsai20141004277/article/details/106607743

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