题解 [ZJOI2007]仓库建设（LOJ #10189 / 洛谷 P2120）【斜率优化DP】

题目链接：洛谷 P2120 / LOJ #10189

题意

自山顶向下有 $n$ 个工厂，分别距离山顶 $X[i](X_1=0)$，内有 $P[i]$ 份货物。现在要修建多个仓库，并将所有货物运送到不高于其所在工厂的仓库中；在各个工厂修仓库的费用分别为 $C[i]$，将每 1 份货物每运送 1 单位距离花费 1。问最小总费用。$n\le 10^6$。

题解

记 $s[i]=\sum _{j=1}^{i}P[j]X[j],sp[i]=\sum _{j=1}^{i}P[j]$。设 $f[i]$ 为解决编号在 $i$ 以内所有工厂的货物存储的最小费用，则：

$$f[i]=\min \{f[j]+c[i]+(sp[i]-sp[j])x[i]-(s[i]-s[j])\}$$

$$\begin{array}{rlrlrl}& f[j]+s[j]& =& x[i]& sp[j]+& (f[i]+s[i]-c[i]-x[i]\ast sp[i])\\ & y& =& k& x+& b\end{array}$$

标准的一个斜率优化的式子，维护一个下凸壳。

代码：

/**********
Author: WLBKR5
Problem: loj 10189, luogu 2120
Name: 仓库建设 
Source: ZJOI2007
Algorithm: 斜率优化 
Date: 2020/06/01
Statue: accepted
Submission: loj.ac/submission/821917, www.luogu.com.cn/record/34071226
**********/
#include
using namespace std;
#define ll long long
int getint(){
	int ans=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-')f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		ans=ans*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return ans*f;
}
const int N=1e6+10;
ll x[N],c[N];
ll s[N],sp[N],f[N];
long double _(int a,int b){
	return (f[a]+s[a]-f[b]-s[b])*1.0/(sp[a]-sp[b]);
}
int main(){
	//let s=\sum p*x
	//f[i]=f[j]+c[i]+(sp[i]-sp[j])*x[i]-s[i]+s[j]
	//f[j]+s[j] = x[i] * sp[j] + f[i]+s[i]-c[i]-x[i]*sp[i]
	//    y     =   k  * x +          b
	int n=getint();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x[i]=getint();
		int p=getint();
		c[i]=getint();
		s[i]=s[i-1]+p*x[i];
		sp[i]=sp[i-1]+p;
	}
	deque<int>d;d.push_back(0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(d.size()>1&&_(d[0],d[1])<x[i])d.pop_front();
		int j=d.size()?d.front():0;
		f[i]=f[j]+c[i]+(sp[i]-sp[j])*x[i]-s[i]+s[j];
		while(d.size()>1&&_(d[d.size()-2],d[d.size()-1])>_(d[d.size()-1],i))
			d.pop_back();
		d.push_back(i);
	}
	cout<<f[n];
	return 0; 
}