迭代算法

一、产生背景

 求解一元高次方程、线性和非线性方程组、曲线拟合等问题，提出了很多迭代法来近似求解这类问题。

 常见的有：梯度法、最小二乘法、牛顿迭代法。

 只要解收敛，求解的过程就是一种不断用变量旧值递推新值的过程。

二、 基本思想

（1）确定迭代变量：迭代变量一般就是要求解的问题的解，利用迭代递推公式可以不断的由旧值递推出新值。

（2）迭代递推关系是根据旧值计算新值的关系或公式，这是迭代法实现的关键，如果不能确定迭代关系，则无法用迭代法实现算          法。              

（3）确定终止条件。迭代终止条件是控制迭代过程推出的关键条件。    

     迭代终止条件一般有三种假设：                  

   （1）迭代变量已经求得问题的精确值；  

   （2）迭代变量无法得到精确值；   

   （3）制定明确的迭代计算次数。                 

一般情况下，为了防止迭代关系在某个区间上发散（不收敛）使得算法进入死循环，都会把第三个条件作为异常退出条件和其他迭代终止条件配合使用，也就是说，即使无法得到符合条件的解，只要迭代计算次数达到某个限制值，也退出迭代过程。     

三、例子

     计算一个数的平方根，数学上一般用迭代法，常用的迭代递推公式是：
         x_(n+1)=1/2(x_n+a/x_n )

std::pair<bool, double> cl_root(double a, double eps)
{
    double xi = a / 2.0; //初始值用a的一半，很多人的选择
    double xt;
    int count = 0;
    do
    {
        xt = xi;
        xi = (xt + (a / xt)) / 2.0;
        count++; //用于检查是否收敛的计数器
        if (count >= LOOP_LIMIT)
        {
            return {false, 0.0}; //不收敛，返回失败 
        }
    } while (std::fabs(xi - xt) > eps);

    return { true, xi };
}